Andengradsligning: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
m →Løsning af en andengradsligning: Typo fixing, replaced: Tredie → Tredje ved brug af AWB |
m Robot: Kosmetiske ændringer |
||
Linje 1:
[[Fil:Quadratic formula.svg|
Ved en '''andengradsligning'''<ref name = KR>Erik Kristensen, Ole Rindung: ''Matematik I'', G.E.C.Gads Forlag, 1968, side 156 f.</ref><ref>Jens Carstensen, Jesper Frandsen: ''Matematik 1'', Systime 1988, side 45 f.</ref><ref>Esper Fogh, Knud Erik Nielsen: ''Vejen til matematik AB 1'', Forlaget Hax, 2005, side 43 f.</ref> forstås en ligning på formen
Linje 6:
Størrelserne <math>a</math>, <math>b</math> og <math>c</math> kaldes andengradsligningen '''koefficienter''' og <math>x \in \mathbb{R}</math> er den ubekendte, hvis værdi skal bestemmes med ligningen. Det første led, <math>a \cdot x^2</math> kaldes ''andengradsleddet'', <math>b \cdot x</math> er ''førstegradsleddet'' og <math>c</math> er ''konstantleddet'' (eller ''nultegradsleddet''). Koefficeienten <math>a</math> må kræves at være forskellig fra nul, da ligningen ellers ikke er af anden grad; der er ingen begrænsninger på <math>b</math> og <math>c</math>. Løsningerne til andengradsligningen kaldes dens '''rødder'''; en andengradsligning kan have 0, 1 eller 2 rødder.
Såfremt man arbejder inden for de reele tal <math>\mathbb{R}</math>, betegnes den ubekendte normalt <math>x</math>, men anden navngivning kan forekomme. Hvis ligningen ønskes løst inden for de [[
:<math>a \cdot z^2 + b \cdot z + c = 0 \quad a, b, c \in \mathbb{C}, \quad a \neq 0</math>
Komplekse andengradsligninger behandles i artiklen om [[
=== Eksempler ===
:{|
Linje 49:
|}
== Løsning af en andengradsligning ==
Idéen i løsninger er at supplere anden- og førstegradsleddene med yderligere et led, således at de tre led kan omskrives ved hjælp af [[Kvadratsætninger|første kvadratsætning]], som her skrives på formen
Linje 91:
| rowspan="2" |<math>(2 \cdot a \cdot x + b)^2 = b^2 - 4 \cdot a \cdot c</math>
| rowspan="2" |
| rowspan="2" |Konstantled flyttes til højre side
|-
| rowspan="2" | <math>\Updownarrow</math>
Linje 155:
|}
=== Eksempler på løsninger ===
I alle tilfælde starter man med at beregne diskriminanten <math>d</math>.
Linje 186:
|}
== Normeret andengradsligning ==
Da <math>a \neq 0</math>, kan enhver andengradsligning divideres igennem med <math>a</math>, hvorved den får formen
Linje 219:
I ligningen <math>x^2 + 9 \cdot x + 14 = 0</math> er konstantleddet lig <math>14</math>, der kan være produktet af <math>1</math> og <math>14</math>, <math>2</math> og <math>7</math> samt <math>-1</math> og <math>-14</math> og <math>-2</math> og <math>-7</math>. Da summen skal være <math>-9</math>, må rødderne være <math>-2</math> og <math>-7</math>.
== Numerisk beregning af rødder ==
Med ovenstående formler er
I løsningsformlen for en andengradsligning indgår de to størrelser <math>-b - \sqrt d</math> og <math>-b + \sqrt d</math>. Hvis
Linje 232:
Dette problem kan man imidlertid undgå ved at udnytte, at røddernes produkt (jfr. forrige afsnit) er <math>x_1 \cdot x_2 = c / a</math>. Algoritmen bliver derfor følgende:
* Beregn diskriminanten <math>d</math>, der her antages positiv.
* Hvis <math>b \geqq 0</math>, så er både <math>-b</math> og <math>-\sqrt d</math> negative: Sæt <math>x_1 = \frac {-b - \sqrt d}{2 \cdot a}</math> og <math>x_2 = \frac {c}{a \cdot x_1}</math>.
* Hvis <math>b < 0</math>, så er både <math>-b</math> og <math> \sqrt d</math> positive: Sæt <math>x_2 = \frac {-b + \sqrt d}{2 \cdot a}</math> og <math>x_1 = \frac {c}{a \cdot x_2}</math>.
'''Eksempel:'''
Linje 324:
Som det ses, svigter den klassiske metode i <span style="color:Orange">de to sidste situationer</span>, medens den modificerede fremgangsmåde leverer <span style="color:Green">korrekte rødder</span>.
== Andengradsulighed ==
En '''andengradsulighed''' <ref>Kristensen og Rindung, side 161</ref> er et [[åbent udsagn]] af typen
Linje 336:
Løsningsmængden <math>L</math>, dvs. samlingen ef <math>x</math>-værdier, som gør det åbne udsagn sandt, findes ved først at løse den tilhørende andengradsligning <math>a \cdot x^2 +b \cdot x + c = 0</math> og derefter foretage en fortegnsundersøgelse for det tilhørende andengradspolynomium <math>P(x) = a \cdot x^2 +b \cdot x + c</math>.
=== Eksempler på andengradsuligheder ===
'''Eksempel 1'''
Linje 342:
:<math>x^2 + 6 \cdot x + 5 < 0</math>
Den tilhørende andengradsligning <math>x^2 + 6 \cdot x + 5 = 0</math> ses ved anvendelse af løsningsmetoden ovenfor (eller ved at kaste et ''skarpt blik'' på den) at have rødderne <math>-5</math> og <math>-1</math>. Sættes <math>x = 0</math>, fås resultatet <math>+5</math>, der ikke er mindre end nul.
[[Fil:SignAxis.svg|thumb|600px|center|Fortegnsaksen viser nulpunkter og fortegnsvariation for andengradspolynomiet <math>P(x) = x^2 + 6 \cdot x + 5</math>.]]
Linje 378:
Uligheden fra eksempel 1 svarer da til at spørge om, for hvilke <math>x</math>-værdier grafen for <math>P</math> ligger under førsteaksen, medens dobbeltuligheden svar til at spørge om, for hvilke <math>x</math>-værdier grafen for <math>P</math> ligger over eller på grafen for <math>Q</math>.
== Kilder ==
{{Reflist}}
| |||