Irrationale tal: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
PipepBot (diskussion | bidrag) m robot Tilføjer: lo:ຈຳນວນອະປົກກະຕິ |
SuneJ (diskussion | bidrag) m →Irrationaliteten af kvadratrod 2: rettede wikilink |
||
Linje 10:
Der eksisterer ikke umiddelbart en metode til bestemmelse af, om et givent tal er rationalt eller ej. Her følger et bevis på at kvadratrod 2 er et irrationalt tal.
Irrationaliteten bevises ved et [[modstrid (matematik)|modstridsbevis]]. Det antages, at der findes et rationalt tal <math>r</math>, så <math>r^2=2</math>; dvs. at der findes tal <math>m</math> og <math>n \in \mathbb{N}</math> så <math>r = m/n</math> (vi kan uden tab af almengyldighed antage, at <math>r>0</math>, da <math>(-r)^2=r^2</math>). Herom kan antages, at brøken <math>m/n</math> er uforkortelig. Det fås altså at:
<math>2 = r^2 = \left(\frac{m}{n}\right)^2 = \frac{m^2}{n^2}</math>, hvilket vil sige at <math>m^2=2n^2</math>.
Det vil sige at <math>m^2</math> er lige og det følger at <math>m</math> også er lige. Det betyder, at der findes et helt tal <math>m'</math> så <math>m=2m'</math>. Indsat i ovenstående ligning fås at <math>(2m')^2=2n^2</math>, altså <math>4m'^2=2n^2</math> og forkortet <math>2m'^2=n^2</math>. På samme måde som før ses, at <math>n</math> også må være lige. Da både <math>m</math> og <math>n</math> er lige, er brøken <math>m/n</math> nødvendigvis forkortelig med 2, hvilket strider mod antagelsen. QED.
| |||