Schwarzschild-metrik: Forskelle mellem versioner

I den [[almen relativitetsteori|almene relativitetsteori]] beskriver ''Schwarzschilds løsning beskriver'' gravitationsfeltet udenforuden for en sfærisk symmetrisk ikke-roterende masse, ligesomsåsom en stjerne, planet eller et sort hul. Løsningen er også en godtgod approksimation til gravitationsfeltgravitationsfeltet uden udenforfor langsomt roterende legemer som jorden eller solen. Schwarzschilds løsning er den mest genereltgenerelle statisk,statiske sfærisk symmetrisksymmetriske vakuum -løsning af Einsteins ligninger.

Løsningen blev navngivet efter tyskden tyske matematiker [[Karl Schwarzschild]], som har fundetfandt løsningen i 1916, dvs. kun fårfå måneder efter Einsteins publikation om almen relativitetsteori. Løsningen var den første ikke-trivielle eksakte løsning af Einsteins ligninger.

Ved hjælp af Schwarzschilds løsning blev de tre klassiske bekræftelser af den almene relativitetsteori blev udarbejdet.

Da løsningen er sfærisk symmetrisk og statisk kan <math>A</math> og <math>B</math> kun afhænge af <math>r</math>. Desuden indeholder linjeelementet ingen krydsled, så metriktensoren bliver diagonal. Fra metriktensoren findes Chistoffel -symbolerne fra formlen:

Mærker angiver differentiation mht. r og alle andre ChristoffelsymbolerChristoffel-symboler end de viste er nul. Fra ChristoffelseymbolerneChristoffel-symbolerne kan Riemann -tensoren findes fra formlen:

Herfra findes Ricci -tensoren ved kontraktion af indexindeks vha. metriktensoren der kendes fra $(1)$:

Udregningen er relativt ligefrem, men ret pladskrævende, så vi nøjes med resultatet. Da vi kun vil interessere os for området uden for det sfæriske legeme skal vi løse Einsteins ligninger i [[vakuum]], dvs. $R_{ab}=0$:

I grænsen $r\to\infty$ forventer vi at genfinde det flade Minkowski -rum med linjeelement

Sammenlignes med $(1)$, må der i denne grænse gælde $A=B=1$, dvs. vi har generelt:

Nu er vi næsten færdige. Når $(8)$ og $(9)$ indsættes i $(1)$ får vi Schwarzschild -linjeelementet:

Vi mangler blot at bestemme integrationskonstanten R. Igen udnytter vi at Schwarzschild -løsningen skal reducere til Minkowski -rummet for $r\to\infty$. Her er $g_{00}=1+2\phi=1-2\frac{GM}{r}$. Sammenlignes med $(11)$ får vi $R=2GM$, hvor M er massen af legemet og G er Newtons gravitationskonstant. Vi regner med enheder hvor $c=1$ så for at give R dimension af en længde må vi have i ikke-relativistiske enheder have:

R kaldes også Schwarzschild -radius og angiver begivenhedshorisonten for et sort hul. Dvs. ved $r=R$ bliver tyngdekraften så stærk at end ikke lys kan undslippe.