Metrik (relativitetsteori): Forskelle mellem versioner

Enhver symmetrisk co-variant [[tensor]] af dimension 2, fx <math> g_{ab}(x)</math> definerer en metrik. En mangfoldighed udstyret med en metrik kaldes for en Riemann-mangfoldighed. En metrik kan bruges til at definere afstand og længden af [[vektor (matematik)|vektor]]er. Den infinitisimaleinfinitesimale afstand (interval som det kaldes i relativitetsteori) som vi kalder ds, mellem to nabopunkter <math> x^a </math> og <math>x^a+dx^a</math> er defineret som:

Bemærk at dette giver kvadratet på den infinitisimaleinfinitesimale afstand, (ds)², hvilket normalt skrives ds². Ovenstående udtryk kaldes også for linjeelementet, og <math>g_{ab}</math> kaldes også for den metriske form eller første fundamental form. Kvadratet på længden, eller [[norm (matematik)|norm]]en, af en kontra-variant vektor X^a er derfineret som

Hvis metriken er ubestemt (som tilfældet er i relativitetsteori), så eksisterer der vektorer der er orthogonaleortogonale på sig selv. altså vektorer for hvilket der gælder at <math>g_{ab}X^aX^b=0</math>, sådanne vektorer kaldes [[nul-vektor]]er.

Metriken er ikke-[[singulær]] hvis <math>g\neq 0</math>, hvis dette er tilfældestilfældet, så er den [[invers]]e til <math>g_{ab}</math>, <math>g^{ab}</math>, givet ved

Vi betragter fremover g, <math>g^{ab}</math> og <math>g_{ab}</math> sosom repræsentanter for det samme geometriske objekt, metriken g. Siden vi nu frit kan hæve og sænke indicies med metriken, er det vigtigt at være forsigtig med hvile vektorer der er co-variante og hvilke der er kontra-variante. For eksempel vil <math>X^{a}_b</math> generelt være forskellig fra <math>X_{a}^b</math>