Kvadratsætninger: Forskelle mellem versioner

'''Kvadratsætningen''' siger hvordan [[kvadrat]]et af to adderede tal udregnes, eller [[reducere]]s.

 

 

Ligningen er: <math>(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab\,</math>

Det er en regel man stifter bekendtskab med i [[Gymnasium|gymnasiet]]. Generelt bruges den flittigt inden for det meste [[matematik]]. Et eksempel er [[Andengradsligning#Udledning af løsningsformlen|udledningen af løsningen]] til [[andengradsligning]]en.

 

 

Der er flere varianter af kvadratsætningen. F.eks. kan nævnes:

* <math>(a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2\,</math>

 

 

Ligningen udledes forholdsvis nemt. Det kan gøres for et vilkårligt [[Legeme (matematik)|legeme]], men mange gange er det de [[reelle tal]] man arbejder med.

<math>(a + b)^2 =\,</math> (definition af heltallig potens, <math>a^n = a\cdot{a}\cdot\ldots{n}\mbox{ gange}\ldots\cdot{a}\cdot{a}</math>)

 

 

<math>a \cdot (a + b) + b \cdot (a + b) =\,</math> (ganger ind i parenteserne igen)

 

 

<math>a^2 + 2ab + b^2\,</math>

<math>(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2</math>

 

 

 

Her er et eksempel, hvor et udtryk sættes på fælles brøkstreg:

Som man kan se hjælper det meget i reduktion at kunne sine kvadratsætninger udenad, så man kan benytte dem når der er brug for det.

 

 

Givet en cirkelligning kan man bruge kvadratsætningen til at finde dens centrum og radius. Et eksempel:

Man ser først på x-leddene: Hvad skal der til for at de opfylder kvadratsætningens højre del? Svaret fås ved at se på leddet <math>4x</math>. Da det led må have opstået fra noget på formen <math>2ab</math> (fra kvadratsætningen), så må <math>a</math> være <math>x</math> og <math>b</math> være 2. Vi kan nu reducere x-leddene:

 

 

Man gør nu præcis det samme for y-leddene. Se på leddet <math>2y</math>. For at det opfylder kvadratsætningen, så må <math>a</math> være <math>y</math> og <math>b</math> være 1. Dvs. vi kan skrive:

 

 

Man kan ud fra den sidste ligning aflæse at cirklens centrum er (2, 1) og den radius er 3.

 

 

Når mange stifter bekendtskab med komplekse tal synes de at de er forvirrende og svære at arbejde med, men det behøver slet ikke være så svært. Når man ved at <math>\imath\cdot\imath = -1</math>, så kan man bruge kvadratsætningen til at finde kvadratet på et komplekst tal <math>a+b\imath</math>:

<math>(a+b\imath)^2 = a^2 + 2ab\imath + (b\imath)^2 = a^2 + 2ab\imath - b^2 = (a^2 - b^2) + (2ab)\imath</math> (resultatet er splittet op i en real- og imaginærdel)

 

 

Kvadratsætningen kan generaliseres til andre potenser. Her er et par stykker:

* <math>(a + b + c + d)^2 = a^2 + 2ab + 2ac + 2ad + b^2 + 2bc + 2bd + c^2 + 2cd + d^2</math>

 

* [[Kvadratkomplettering]]

* [[Ligning]]

* [[Andengradsligning]]

 

 

[[Kategori:Matematiske sætninger]]