Kvadratsætninger

Disambig bordered fade.svg For andre betydninger af ordet Kvadrat, se Kvadrat (flertydig).

Ved kvadratsætningerne forstår man tre ligninger, som viser sig nyttige ved mange elementære omskrivninger inden for matematisk algebra [1][2][3][4].

KvadratsætningerneRediger

De er de følgende tre:

Første kvadratsætning:  
Anden kvadratsætning:  
Tredje kvadratsætning:  

Størrelserne   og   kan være simple tal eller sammensatte udtryk, jfr. eksemplerne herunder.

Sætningerne kan huskes ved hjælp af følgende remser:

Kvadratet på en sum af to led er lig kvadratet på første led plus kvadratet på andet led plus det dobbelte produkt”.
Kvadratet på en differens af to led er lig kvadratet på første led plus kvadratet på andet led minus det dobbelte produkt”.
To leds sum ganget med de samme to leds differens er lig med kvadratet på første led minus kvadratet på andet led”.

Produkt af to flerledede strørrelserRediger

Sætningerne følger elementært af den generelle regel for udregning af produktet af to flerledede størrelser:

”Hvert led i den ene faktor ganges med hvert led i den anden faktor”.

For eksempel er

 

Reglen kan bruges til f.eks. at bevise den tredje kvadratsætning:

 

Geometriske illustrationerRediger

I det tilfælde, at  , altså hvor   og   er positive og   er størst, kan man indse rigtigheden af de tre kvadratsætninger ved hjælp af simple illustrationer:

Af figuren aflæses umiddelbart, at   kan sammenstykkes af  ,   og to gange  , hvilket illustrerer første kvadratsætning. Af figuren aflæses, at   kan sammenstykkes af  ,   og to gange  , dvs.    hvilket omskrives til anden kvadratsætning.
Af figuren til højre aflæses umiddelbart, at arealet af det blå område er  . Ved at flytte det grønt stiplede område kan figuren til højre fremkomme. Arealet af det blå område ses nu at være  , hvilket illustrerer rigtigheden af tredje kvadratsætning.

Eksempler på anvendelseRediger

  •  
  •  
  •  
  •  
  • Omskrivning af en kvadratisk form for at bestemme den tilhørende kurveform:
 
 
 
 
Ligningen fremstiller altså en cirkel med centrum i   og radius  .
  • Division med et komplekst tal, her udnyttes, at  :
 

GeneraliseringerRediger

Ved fortsat multiplikation finder man

 
 
 

Her er   en binomialkoefficient og koefficienterne danner et talskema, som kaldes Pascals trekant.

KilderRediger

Kvadratsætningerne omtales ikke som sådan i Kristensen og Rindungs i 1960-erne udbredte lærebogssystem i matematik for gymnasiet; der henvises til anden kvadratsætning som "den velkendte formel"[5].

De tre kvadratsætninger behandles i alle nyere lærebøger i matematik for gymnasiet.

Begrebet synes ikke at blive anvendt i udlandet.

  1. ^ Tommy Boch: Mængder og tal, Forlaget FAG, 1982, side 2.
  2. ^ Jens Carstensen, Jesper Frandsen: Matematik 1 for obligatorisk niveau, Systime, 1988, side 27.
  3. ^ Jens Carstensen, Jesper Frandsen: Matematik 1, Systime, 1997, side 14.
  4. ^ Knud Erik Nielsen, Esper Fogh: Vejen til matematik AB1, Forlaget Hax, 2005, side 24 - 25.
  5. ^ Erik Kristensen, Ole Rindung: Matematik I, G.E.C.Gads Forlag, 1968, side 34