Imaginære enhed: Forskelle mellem versioner

Behovet og motivationen for denne udvidelse ligger i den kendsgerning, at der ikke altid blandt de reelle tal optræder [[rod|rødder]] til løsning af de ligninger, der fremkommer, når et [[polynomium]] sættes lig 0, dvs. ligninger af formen (''f''(''x'') = 0). Man behøver blot at se på en af de enkleste af disse, nemlig ligningen ''x''² + 1 = 0, som ikke har en løsning blandt de reelle tal.

Hvis vi imidlertid tillader komplekse tal som løsninger, så har denne ligning - og i virkeligheden '''enhver''' polynomisk ligning af formen ''f''(''x'') = 0 en løsning.

:''x''² = −1−1

Regneoperationer på reelle tal kan herefter anvendes på tal med en imaginær del og på [[komplekse tal]] ved at behandle i som en ukendt størrelse, mens operationerne gennemføres, og så til sidst bruge definitionen ovenfor til at erstatte forekomster af i² med −1−1.

== i og −i−i ==

I realiteten har ligningen ''to'' forskellige løsninger, som er fortegnsmæssigt ombyttede. Det kan præcist udtrykkes således, at når løsningen i er fastsat, så er −i−i ≠ i også en løsning. Eftersom ligningen benyttes til at definere i, og den er eneste definition, kunne det se ud, som om definitionen på i er flertydig og altså ikke så koncis, som matematik skal være. Flertydigheden forsvinder imidlertid, fordi kun den ene løsning er valgt, og denne er fastlagt til altid at være det "positive i".

== Advarsel ==

Den imaginære enhed skrives sommetider <math>\sqrt{-1}</math> i avancerede matematiske sammenhænge, men der skal vogtes omhyggeligt på fejltagelser, når man manipulerer med udtrykket i denne form. Notationen skal enten bruges for den primære [[kvadratrod]]s funktion, som udelukkende er defineret for reelle ''x'' ≥ 0 eller for den komplekse kvadratrods-funktion, og disse må ikke sammenblandes.

== Potenser af i ==

[[BilledeFil:EulerIdentity2.svg|right|200px|Eulers identitet]]