|
'''LagrangefunktionaletLagrangefunktionen''' (engelsk '''Lagrangian''') er en fysisk størrelse, der anvendes indenfor [[analytisk mekanik]] til at beskrive energiforholdene for et [[klassisk mekanik|mekanisk]] system.
Ved simpel [[differentialregning]] kan Lagrangian'enLagrangefunktionen bruges til at opskrive ligninger for systemets bevægelser frabeskrevet med [[Euler-Lagrange-ligningerne]]. Lagrangian'enLagrangefunktionen har fået sit navn efter den franske [[matematik|matematiker]]er [[Joseph Louis Lagrange]].
== Definition ==
Lagrangian'enLagrangefunktionen <math>L</math> for et system er defineret som den totale [[kinetisk energi|kinetiske energi]] <math>T</math> minus den totale [[potentiel energi|potentielle energi]] <math>V</math> for systemet;
<math> L = T - V. </math>
Når Lagrangian'enLagrangefuntionen er kendt, kan dynamikken af systemet bestemmes ud fra [[Euler-Lagrange-ligningerne]], men en konstruktion af funktionen kræver et gæt på et passende udtryk for den potentielle energi ud fra overvejelser om systemet.
== Euler-Lagrange-ligningerne ==
{{Uddybende|Euler-Lagrange-ligningligningerne}}
Lagrangian'enLagrangefunktionen indeholder al information der skal bruges for at bestemme et givet systems [[dynamik]], ud over [[grænsebetingelse|grænsebetingelser]]r for bevægelsen. [[Bevægelsesligning|Bevægelsesligninger]]er for partiklerne[[partike|lpartiklerne]] findeser givet fraved Euler-Lagrange-ligningerne. For eksempel, for en partikel der bevæger sig i en dimension med LagrangianLagrangefunktion
<math>L(x,\dot x) = T(x,\dot x) - V(x,\dot x)</math>
=== Konstant acceleration ===
Som et simpelt eksempel kan tages Lagrangian'enLagrangefunktionen for en punktformet [[masse]], der foretager et fald i et konstant [[tyngdefelt]]. Den potentielle energi for denne masse er naturligvis
<math> V = m g x, </math>
hvor <math>m</math> beskriver massens størrelse, <math>g</math> er 9.82 m/s ([[tyngdeacceleration|tyngdeaccelerationen]]en i Danmark) og <math>x</math> massens højde i forhold til et defineret nulpunkt. Den kinetiske energi er givet ved:
<math>T = \frac{1}{2} m \dot x^2,</math>
hvor <math>\dot x</math> betegner koordinaten x differentieret i forhold til tid, altså hastigheden.
Lagrangian'enLagrangefunktionen er i dette tilfælde
<math>L = T-V = \frac{1}{2}m \dot{x}^2 - mgx.</math>
der er [[Newtons anden lov]] for bevægelse med konstant acceleration.
== LagrangenLagrangefunktionen og HamiltonenenHamiltonfunktionen ==
LagrangenLagrangefunktionen har dimensioner af [[energi]] og kan bruges til at finde bevægelsesligningen for et system. Disse karakteristika gælder også for HamiltonenenHamiltonfunktionen, og de bruges da også begge inden for [[analytisk mekanik]], hvor de hører til henholdsvis [[Lagrange-formalismen]] og [[Hamilton-formalismen]]. Hamilton-formalismen er yngre og er lavet ud fra Lagrange-formalismen. Den vigtige forskel er dog de variable der indgår i de to størrelser; mens begge afhænger af koordinat og tid, afhænger Langrangen af den [[generaliserede hastighed]], mens Hamiltonen afhænger af den [[generaliserede impuls]]. Dvs.:
<math>H=H(q,p,t)</math>
<math>L=L(q,\dot{q},t)</math>
DetDe kanto afhjælpesfunktioner er forbundet vha. en [[Legendre-transformation]]:
<math>L(q,\dot{q},t)=\dot{q}p-H(q,p,t)</math>
[[Kategori:Analytisk mekanik]]
[[Kategori:Klassisk mekanik]]
| 