Trigonometrisk funktion: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
Fjerner påstand uden kilde om at sinus er vigtigst. Fjerner total uforståelig tekst om at variable er måleenheder og at funktioner er ligninger. |
Udvidet med omtale af alle 6 trigonometriske funktioner |
||
Linje 1:
En '''trigonometrisk funktion''' er en matematisk [[funktion (matematik)|funktion]] som i den elementære matematik defineres
== Sinus og cosinus ==
{{Uddybende | Sinus (matematik)}}
{{Uddybende | Cosinus}}
[[Fil:Unit circle.svg | thumb | Figur 1: Enhedscirkel]]
[[Fil:Trigono b00.svg | thumb | Retvinklet trekant placeret i enhedscirklen]]
* [[Sinus (matematik)|Sinus]]: <math>f(x)=\sin x \,\!</math>
* [[Cosinus]]: <math>f(x)=\cos x \,\!</math>
Sinus og cosinus kan defineres med brug af en [[enhedscirkel]] som er en [[cirkel]] i et [[retvinklet koordinatsystem]] med centrum i (0,0) og radius 1 (figur 1). cos t og sin t er de funktioner som opfylder at en [[halvlinje]] med start i (0,0) med vinklen ''t'' i forhold til den positive del af [[Abscisse|førsteaksen]] vil skære enhedscirklen i punktet (cos t, sin t). Heraf følger at cos og sin er [[periodisk funktion|periodiske funktioner]] med perioden 2π eller 360° da halvlinjen har samme placering hver gang den har gennemløbet enhedscirklen.
Hvis man placerer en trekant i koordinatsystemet med hjørnerne på punkterne (0,0), (cos t, sin t) og (cos t, 0), ses det at trekanten må være [[retvinklet trekant|retvinklet]] med en [[hypotenuse]] på 1 (figur 2). Ud fra denne trekant kan udlede at det generelt gælder for retvinklede trekanter at:
* Sinus til en af de spidse vinkler er lig forholdet mellem vinklens modstående katete og hypotenusen
* Cosinus til en af de spidse vinkler er lig forholdet mellem vinklens hosliggende katete og hypotenusen
== Tangens og cotangens ==
{{Uddybende | Tangens}}
* [[Tangens]]: <math>f(x)=\tan x \,\!</math>
* [[Cotangens]]: <math>f(x)=\cot x \,\!</math>
Tangens er defineret som <math>\tan x = \frac{ \sin x}{\cos x}, \quad \cos x \ne 0</math>, mens cotangens er <math>\cot x = \frac{ \cos x}{\sin x}, \quad \sin x \ne 0</math>.
Tangens og cotangens er periodiske med perioden π eller 180°.
For retvinklede trekanter gælder:
* Tangens til en af de spidse vinkler er lig med forholdet mellem vinklens modstående katete og dens hosliggende katete.
* Cotangens til en af de spidse vinkler er lig med forholdet mellem vinklens hosliggende katete og dens modstående katete.
== Sekans og cosekans ==
* [[Sekans]]: <math>f(x)=\sec x \,\!</math>
* [[Cosekans]]: <math>f(x)=\csc x \,\!</math>
Sekans og cosekans er de [[reciprok]]ke funktioner til henholdsvis cosinus og sinus:
: <math>\sec x = \frac{ 1 }{\cos x}, \quad \cos x \ne 0</math> og <math>\csc x = \frac{ 1 }{\sin x}, \quad \sin x \ne 0</math>.
For retvinklede trekanter gælder:
* Sekans til en af de spidse vinkler er lig med forholdet mellem hypotenusen og vinklens hosliggende katete.
* Cosekans til en af de spidse vinkler er lig med forholdet mellem hypotenusen og vinklens modstående katete.
Disse to funktioner bruges stort set ikke i dansksprogede områder, hvor man i stedet bruger regneudtryk med cosinus og sinus.
== Navnenes betydning ==
Navnene kommer parvis med eller uden præfikset co-. ''Co-'' står for komplementær. To vinkler der sammenlagt giver en ret vinkel, kaldes for komplementære vinkler, således er de to spidse vinkler i en retvinklet trekant er altid komplementære. "Co-"-udgaven af en trigonometrisk funktion giver samme funktionsværdi for en vinkel, som udgaven uden "co-" giver for den komplementære vinkel.
== Grafisk
Nedenfor vises [[graf]]erne for sinus, cosinus og tangens. X-aksernes værdi udtrykker vinklens størrelse i [[radian]]er i forhold til [[pi (tal)|pi]], samt den tilsvarende værdi i [[Grad (vinkelmål)|grader]].
| |||