|
==Moderne formulering af ZFC==
Kohærens [[ fysik ]]. Etymologi: Ordet kommer fra latin (cohaerens) som betyder at hænge sammen. Begrebet anvendes inden for fysikken på mange områder. For bølger gælder at to bølger er helt kohærent , hvis de har en konstant [[ faseforskel ]] og derved samme frekvens og bølgelængde. Men inden for andre områder får det en anden betydning, dog altid relateret til noget der hænger sammen. Eksempler på andre anvendelser er kohærent matricer inden for signal sampling (til reduction af sampling rater under Shannon-Nykvist kriteriet, men med bevarelse af information) , Lagrance kohærent strukturer (trajektorier i dynamiske systemer som øver indflydelse på andre trajektorier, fx hvirvler) og inden for sandsynligheds analyser af systemers fejlrater hvor flere delsystemer kan fejle.
Der er mange ækvivalente formuleringer af ZFC aksiomerne. Aktiomerne er fundamentet for de fleste matematiske teoremer, dog skal det bemærkes at aksiomerne fremkom som de aksiomer som tillod at bevise de teoremer man mente var rigtige og ikke omvendt.
Bølger med en idealiseret enkelt frekvens og en stabil faseforskel forekommer ikke i naturen. Så der anvendes andre metoder til at karakterisere kohærens af denne slags, dog stadig baseret på det idealiserede billede at bølger der følges ad i tid eller rum. I det følgende behandles hovedsagelig bølgers kohærens.
En målsætning er at der skal være så få forudfattede begreber i aksiomerne for at forhindre at disse senere findes ikke at være korrekte, hvilket er sket flere gange i matematikkens historie.
Brug af aksiomerne:
Kohærens er faktisk i centret af megen aktiv forskning. Det der gør kohærens interessant den interferens der kan opstå når to kohærent bølger indvirker på hinanden.
De bruges til at bevise udsagn om mængder ved en veldefinered proces, en beviskæde, som udgør et bevis:
Dette gøres udelukkende ved anvendelse af tre forskellige metoder i beviskæden: 1) at referere hvilken aksiom der anvendes eller 2) anvende en tautologi eller 3) modus ponens ( samtidig anvendelse af to tidligere beviste udtryk i beviskæden ). Dette gør det muligt og helt klart at der er tale om et bevis.
Nedenfor illustreres hvorledes det kan anses for undgået at forudfattede begreber, der senere kunne vise sig ikke at være rigtige, ikke anvendes.
Årsagen til det den megen interesse er dels at der er bølger mange steder i fysikken fx vand bølger og lyd bølger , selv rummet bølger (gravitations bølger), men også lys er bølger og inden for kvanteteorien er alle partikler forbundet med bølger. I tilgift er både lys (fotonik) og kvantemekanik blandt de mest aktive forsknings og udviklings områder for tiden. Astronomi er også et område der forskes meget i. Her anvendes inden for radioastronomien Van Cittert-Zernike teoremen til at rekonstruere fjerne objekters intensitets fordeling ved at måle graden af korrelation mellem forskellige punkter i billedplanen, dette på trods af at radiobølgerne fra objektet ikke er kohærent, men det bliver de til en vis grad når afstanden er stor i forhold til kildens udstrækning.
Mængdelære bygger på postulatet at der er en fundamental binær relation <math>\epsilon </math> , den eneste definition af <math>\epsilon </math> og mængde findes i de 9 aksiomerne som handler om dem, der er i den forstand ingen formel definition.
Bølger behøver ikke at være nær hinanden for at være kohærent, i den henseende er det bare et koncept; men for at kunne observere interferens er det naturligvis nødvendigt.
Ud over dette benyttes nogle logiske operatorer, som antages kendte. fx
Rumlig kohærens beskriver sammenhængen mellem bølger over et område i rummet, enten i side- eller i længderetningen. I sideretninge fx i en bølgefront.
<math> \neg </math> betyder logisk Not.
<ref> {{cite bog |. Last1 = Hecht | title = Optik | dato = 1998 | publisher = Addison Wesley Longman | isbn = 0-201-83887-7 | sider = 554-574 | edition = 3rd}} </ref>. Temporal Kohærens beskriver sammenhængen mellem bølger observeret over et tidsrum.
<math>\forall a </math> betyder for alle a (det er en kvantor)
<math> \exists a </math> betyder der eksisterer a (det er en Kvantor)
<math> \exists ! y </math> betyder der eksisterer en unik y
<math> \vee </math> betyder logisk OR
<math> \wedge </math> betyder logisk AND
Udtale og form:
<math>A \epsilon B </math> ( siges A element B eller A i B ...)
== Introduktion ==
<math>A \epsilon B := \epsilon(A,B) </math> er et prædikat med to variable, symbolet placeres normalt mellem de to variable.
Kohærens bruges indenfor praktisk taget ethvert område , der involverer bølger , såsom [[ akustik ]] , [[ elektroteknik ]] , [[ neurovidenskab ]], [[optik]],[[ fotonik]] og [[ kvantemekanik ]] . Egenskaben kohærens er grundlaget for kommercielle applikationer såsom [[ holografi ]] , [[ Sagnac interferometer | Sagnac ]] [[ gyroskop ]] , Flowmålinger, radio [[ fase netværk | antenne netværk ]] , [[ optisk kohærens tomografi ]] og teleskop interferometre ( [[ interferometri # Astronomical optisk interferometri | astronomiske optiske interferometre ]] og [[ radio teleskop ]]er) . Et meget aktivt forskningsområde er en mulig sammenhæng mellem kohærens og kvante sammenfiltring af partikler.
Vi kan definere
== Matematisk definition ==
Er ikke element: <math> x \notin y : \Leftrightarrow \neg ( x \in y) </math>
Kvaliteten af en kohærens kan beskrives ved en korrelation mellem de to bølger. Det er fase og frekvens der skal sammenlignes for to funktioner (f() og h()).
Delmængde :<math> x \subseteq y : \Leftrightarrow \forall a:( a \in x \Rightarrow a \in y) </math>
En bølgefunktion <math> f(wt-\vec{ k} \cdot \vec{r} ) </math> kan betragtes som en funktion af tiden i en bestemt position og man ville så sammenligne <math> f_{r_1}(k_1 t - \phi_1) \;\; med \;\; h_{r_2}( k_2 t - \phi_2) </math> eller som en funktion af position og man ville så sammenligne <math> f_{t_0}(\vec{k}_1 \cdot \vec r - \phi_1) \;\; med \;\; h_{t_0}( \vec {k}_2 \cdot \vec{r} - \phi_2) </math> . Sammenligningen skal tage højde for at funktionerne kan indeholde flere frekvenser og støj. Dette kan gøres med en kryds-korrelation:
Lighed: <math> x=y : \Leftrightarrow \forall x \forall y: x \subseteq y \wedge y \subseteq x </math>; kan også formuleres som hvis x og y har de samme elementer så tilhører de de samme mængder. <math> x=y : \leftrightarrow \forall x \forall y \forall w( x \in w \leftrightarrow y \in w) </math>
:<math> g(\tau) = \int_{a}^{b} f(t) h(t + \tau) dt = \langle f(t) h(t + \tau) \rangle </math>
De to første aksiomer er eksistens aksiomer.
Det kan være praktisk, specielt i flere dimensioner at Fourier transformere f() og h (). Betegnes Fourier transformation med F fås ifølge konvolution teoremet:
1. Aksiom:
<math>x \in y </math> er et udsagn (dvs. er enten sand eller falsk) hvis og kun hvis x og y er mængder.
:<math> g() = F^{-1} ( F(f()) F(h()) ) </math> Det fungerer i alle dimensioner.
( I naiv mængde teori (som læres i skolen) kan x være andet end en mængde, derved kan paradoxer blive et problem)
Ved Fourier transformationer fremkommer frekvens, fase vinkel og amplitude. Da amplituden ikke er relevant normaliseres g() således:
2. Aksiom:
:<math> g(\tau) =\frac{ \langle f^{*}(t) h(t + \tau) \rangle }{ \sqrt{\langle f(t)^{2} \rangle } \sqrt{\langle h(t-\tau)^{2} \rangle }} </math>
Tager man to funktioner af tiden fx elektriske felter E<sub>1</sub>(t) og E<sub>2</sub>(t) så er kryds-korrelationen mellem dem
Eksistens af den tomme mængde:
:<math> g(\tau) =\frac{ \langle E_{1}^{*}(t) E_{2}(t + \tau) \rangle }{ \sqrt{\langle E_{1}(t)^{2} \rangle } \sqrt{\langle E_{2}(t-\tau)^{2} \rangle }} </math>
<math> \exists x: \forall y : y \notin x </math>
( der er kun en tom mængde betegnet <math> \oslash </math> )
De spidse vinkler betyder middelværdier over tid eller rum (quasi-stationære funktioner) og nævnerens berettigelse er at normalisere produktet i tælleren. Stjernen betyder den [[kompleks konjugerede]], hvilket er relevant for komplekse funktioner. Middelværdierne tages over et relevant interval . Korellationen afbildes normalt med den værdi af tidsforsinkelsen eller afstands forskellen der giver maximal korrelation. Afhængigt af om der integreres over tiden eller over rummet kalde kohærens temporer eller rumlig. En autokorrelation (korrelation mellem en bølge og bølgen selv til et andet tidsunkt) kaldes temporal. Den er naturligvis altid perfekt når tidsforskydningen er nul.
3.Aksiom:
For sinus-formede funktioner finder man <math> g(\tau) = e^{- i (\omega_{0} \tau -\phi) } </math> eller for reelle værdier <math> g(\tau)= \cos(\omega \tau - \phi) </math>
Aksiom om par:
Lad x og y være mængder, der eksisterer en mængde der som elementer indeholder x og y:
Værdien af <math> {}_\tau </math> der giver maximum korrelation svarer til den faseforskel der er mellem de to funktioner. Den maksimale Værdi af
<math> \forall x: \forall y: \exists m : \forall u: (u \in m \Leftrightarrow u=x \vee u=y) </math>
<math> g(\tau) </math> er et mål for intensiteten (kvaliteten) af interferensen. For sinusform er værdien naturligvis 1.
( bemærkning: der anvendes en notation m = { x,y}, rækkefølgen af x og y har ingen betydning {x,y} = {y,x}, hvis x=y får man m={x} eller m={y} da identiske elementer ikke tæller mere end en gang )
4.Aksiom
I naturen forekommer der bølger der ikke har en enkelt frekvens, men som fx er sammensat af frekvenser i et interval eller af et antal diskrete frekvenser. Fasevinkler kan variere med tiden og støj være adderet til begge funktioner. Er en eller begge funktioner udelukkende tilfældig støj så er kryds-korrelationen nul over tilstrækkelig lang tid. Den tid hvor man regner kryds-korrelationen for tilstrækkelig god kaldes kohærens tiden <math> \tau_{c} </math>. Den kan være defineret forskellig afhængig af anvendelsen.
Foreningsmængde :
Er de matematiske funktioner ikke kendte (fx for lys er frekvensen for høj til at man kan måle en funktion), kan man definere en kvalitet at interferensen på basis af intensiteten af interferensen (lyse og mørke områder) som:
Lad x være en mængde. Så findes der en mængde hvis elementer netop er elementer af elementerne af x (kaldes foreningsmængde )
:<math> \frac{I_{1} - I_{2}}{I_{1}+ I_{2}} </math>
Notation: <math> u = \bigcup x </math>
Variationen i synlighed af interferensen som funktion af lyskildens størrelse kaldes rumlig kohærens, som funktion af fordelingen af bølgelængder kaldes det temporal kohærens.
Eksempel: Lad a,b være mængder , {a} er en mængde (ifølge aksiomet om par) og { b} er en mængde og x={{a},{b}} er en mængde.
<math> \bigcup x = {a,b} </math>
Ligeledes x = {{a},{b,c}} giver <math> \bigcup x = {a,b,c} </math>
5. Aksiom:
Kohærens for en MxN matrix <math> \psi </math> hvor M<<N er defineret som:
Aksiom om udskiftning (Skema):
Lad R være en funktional relation: <math> \forall x \in m \exists ! y : R(x,y) </math> .
:<math> \mu(\psi) = max_{1\le i,j \le N}(\frac{<\Psi_{i},\Psi_{j}>}{||\Psi_{i}||_2 ||\Psi_{j}||_2 }) ; i\neq j </math>
(En mange-til-en relation mellem to sæt attributter indenfor en given relation.) og m en mængde.
Værdimængden af en mængde m under en funktionel relation R består af all de y for hvilke der er et <math> x \in m </math> således at R(x,y).
Princippet om begrænset mængde bygning følger af dette aksiom (5):
Interessant nok så er <math> \mu(\psi) \in [\sqrt{\frac{N-M}{M(N-1)}},1 ] </math>
let P være et prædikat i en variabel og lad m være en mængde. De elementer <math> y\in m </math>, for hvilke P(y) er sand, er en mængde.
Matricer med lav kohærens anvendes til at reducere antallet fra N til M af målinger (sampler) på tidskontinuerte funktioner (signaler) med begrænset båndbredde. M er færre end det Shannon-Nykvist teoremet kræver ( 2 gange den føjeste frekvens i signalet) for at kunne rekonstrurere signalet.
<math> \{ y \in m | P(y) \} </math>
Dette kaldes et skema, fordi det er egentlig ikke en enkel aksiom, der er et aksiom for hvert prædikat P.
I naiv mængdeteori behøver y ikke at være begrænset (universel mængdebygning), hvilket leder til paradokser.
==Første anvendelser==
6. Aksiom:
Går man tilbage i tiden er [[ Thomas Young ( forsker ) | Thomas Young ]] s [[ dobbelt -spalte eksperimentet ]] måske den første gang man mere seriøst begyndte at interessere sig for interferens som er en klar effekt af kohærens. Idag bruger man en laser og to spalter tæt på hinanden i forsøget. Lysets (fotonets) bølge bliver delt op i to dele (en bølge gennem hver sin spalte). De to bølger mødes på en skærm hvor der dannes et interferens mønster af parallelle linier. Ud fra interferens mønstret og den øvrige geometri (afstand mellem spalter og afstand spalter til skærm) kan man så beregne lysets bølgelængde.
Eksistens af Potens-mængde:
Young udførte forsøget lidt anderledes. Han havde ikke monokromatisk koherent lys eller lasere og ikke engang spalter. Han delte lyset op i to dele med et tyndt stykke pap eller papir som han belyste på kanten. Han skaffede sig lys fra et lille hul hvor solen skinnede igennem og han beregnede lysets bølgelængde rimeligt korrekt og beviste dermed at lyset ikke var korpuskler som Newton mente men bølger. At det så senere viste sig at lys både er partikler og bølger er en anden sag.
Hvis m er en mængde så er potensmængden P(m) mængden af alle submængder af m.
Men hvorfor virkede det? Forsøget blev udført med en termisk lyskilde filtreret i udstrækning gemmem et lille hul. Dette tillader at der opnås synlige interferens mønstre med en rimelig (opnåelig) afstand mellem "spalterne". Årsage skal findes i Van Cittert-Zernike teoremen som siger at selv om lys starter uden at være koherent så vil det opvise en vis kohærens når man kommer tilstrækkelig langt væk fra lyskilden i forhold til lyskildens udbredelse. I dette tilfælde finder man:
<math> \forall m \exists y \forall z: ( z \subseteq m \Rightarrow z \in y ) </math>
:fx <math> d_{c} m= 0,16 \lambda \mathbf{l} /a,b \delta} </math>
<math> P(m) = \{ \oslash, \{ a\},\{b\},\{a,b\} \} </math>
7. Aksiom:
Afstanden fra kilde til splater er '''l''', delta er hullets diameter og lambda er lysets bølgelængde. Traditionelt kaldes arealet med diameteren d<sub>c</sub> for kohærens arealet.
Uendeligheds aksiomet
Der eksisterer en mængde som indeholder den tomme mængde og med ethvert af dens elementer y også indeholde <math> \{y\} </math> som et element.
I det meget berømte Michelson-Morely eksperiment brugte et Michelson inteferometer til at sammenligne afstande i to akser der stod vinkelret på hinanden. Ideen var at man ville vise hvorledes jordens bevægelse gemmen æteren (som man dengang troede fandtes) forkorter afstande i bevægelses retningen.Den ene akse pegede i retning af bevægelsen og den anden var drejet 90 grader i forhold til den første. Resultatet af forsøget var naturligvis at der ikke skete nogen forkortning.
fx: <math> m =\{ \oslash , \{\oslash\}, \{\{\oslash\}\},\{\{\{ \oslash \}\}\} \cdots \} </math>
de trivelle navne for disse mængder er 0,1,2,3,...
altså er <math>\mathbb{N} </math> en mængde og <math> \mathbb{R} = P(\mathbb{N}) </math>
På den tid kendte man til natrium lys som består af to bølgelængder tæt ved hinanden altså ikke helt monokromatisk. Det blev brugt til at indstille apparatet med, men ellers brugte man hvidt lys for at få en tydeligere indikation.
Det man ser i måleinstrumentet er afhængigt af hvordan spejlene indstilles. Det kan være parallelle striber , cirkulære ringe eller bare en ensartet flade som skifter mellem lys og mørke afhængigt af forskellen i afstandene langs de to akser.
8. Aksiom:
Det moderne LIGO (Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory) experiment som måler gravitationsbølger er en videreudvikling af Michelson-Morely experimentet i den forstand at der måles på en længde forskel mellem to akser vinkelret på hinanden forårsaget af rummets udvidelse og sammentrækning. LIGO er naturligvis mange tusinde gange mere følsom og kan måle afstande med en nøjagtighed på <math> 10^{18} </math> meter, svarende til at kunne måle afstanden fra solen til den nærmeste stjerne med en hårbreddes nøjagtighed. Koherens af laseren der bruges er extremt meget bedre en en almindelig laser med hensyn til bændbredden og stabiliteten. Lyset løber 280 gange frem og tilbage over de 4 km afstande hver arm har. Der dannes interferenc således at det der observeres er et mørkt felt. Hvorved brøkdele af en bølgelængde i variation kan observeres. LIGO er resultatet af over 20 års arbejde, der er i øjeblikket ca 1000 videnskabsmænd der arbejder på projectet.
Om udvalg (valg).
Lad x være en mængde hvis elementer ikke er tomme og gensidigt disjoint. Der eksisterer så en mængde y som indeholder nøjagtigt et element fra hvert element af x.
Eventuelt:
== Kohærens og korrelation ==
Der eksisterer så en funktion f fra x til foreningsmængden af elementerne af x kaldet en valg funktion, således at for all <math> y \in x </math> har man <math> f(y) \in y </math>.
Kohærens mellem to bølger giver udtryk for, hvor godt korreleret bølgerne er hvilket kvantificeres ved den normerede [[krydskorrelation]] funktion. <Ref name = "vinter">
{{Cite web
| Author = Rolf G. Winter
| Author2 = Aephraim M. Steinberg
| År = 2008
| Title = Coherence
| Url = http: //accessscience.com/content/Coherence/146900
| Arbejde = AccessScience
| Publisher = [[McGraw-Hill]]
}} </Ref> <ref name = "BornWolf">
{{Cite bog
| Author = M.Born
| Author2 = E. Ulv
| År = 1999
| title = Principles of Optics
| Udgave = 7th
| Publisher = [[Cambridge University Press]]
| Isbn = 978-0-521-64222-4
}} </Ref> <ref name = "Loudon">
{{Cite bog
| Author = Loudon, Rodney
| År = 2000
| Title = Quantum Theory of Light
| Publisher = [[Oxford University Press]]
| Isbn = 0-19-850177-3
}} </Ref> <ref name = "mandel">
{{Cite bog
| Author = Leonard Mandel
| Author2 = Emil Wolf
| År = 1995
| Title = Optic coherence og Quantum Optics
| Publisher = [[Cambridge University Press]]
| Isbn = 0-521-41711-2
}} </Ref> <ref name = "mar">
{{Cite bog
| Author = Arvind Marathay
| År = 1982
| Title = Elements af Optical coherence Theory
| Publisher = [[John Wiley & Sons]]
| Isbn = 0-471-56789-2
}} </Ref>
9. Aksiom
Fasen mellem funktionerne er defineret ved den værdi af <math> {}_\tau </math> der giver maksimal korrelation. Selv om funktionerne er i modfase eller ville give en simpel korrelation der var nul så kan funtionerne være kohærent.
Fundament aksiomet:
Ethver ikke tomt mængde x indeholder et element y som har ingen af dets elementer fælles med x.
Det er naturligvis muligt at beregne en slags autokorrelation for en funktion fx ved at beregne kryds-korrelationen mellem to forskellige tidspunkter af den samme bølge. Et eksempel kunne være Youngs dobbeltspalte forsøg hvor det er den samme bølge der deles op i to bølger og interferens opstår på en skærm på grund af de forskellige tider det tager de to bølger at bevæge sig fra spalterne til de forskellige positioner på skærmen.
Umiddelbar konsekvens : Der er ingen mængde som indeholder sig selv som element: <math> x\in x </math> for ingen mængde x.
== Eksempler på bølge -lignende tilstande ==
Disse tilstande er forenet af det faktum, at deres adfærd er beskrevet af en [[ bølgeligning ]] eller en generalisering deraf .
* bølger i et reb ( op og ned ) eller longitudinale (kompression og ekspansion)
* [[ Overfladebølger ]] i en væske
* [[ Elektromagnetisk ]] bølger i forbindelse med en [[ transmissionsledning ]]
* [[Lydbølger]]; longitudinale (kompression og ekspansion)
* [[ Radiobølger ]] og [ [ Mikrobølger ] ]
* [[ Lysbølger ]] ( [[ optik ]] )
* [[ Partikel bølger ]] , ( som beskrevet i [[ kvantefysikken ]] )
I de fleste af disse systemer , kan man måle bølgens detaljer direkte. Derfor kan dens korellation med en anden bølge beregnes. Men inden for optik kan man ikke kan måle detaljer [[ elektriske felt ]] direkte eftersom feltet svinger meget hurtigere end nogen detektors tidsopløsning . <Ref>
{ { Cite tidsskrift
| Last1 = Peng | first1 = J. - L .
| Last2 = Liu | first2 = T. -A .
| Last3 = Shu | first3 = H.- H .
| År = 2008
| Title = "Optical frequency counter based on two mode-locked fiber laser combs".
| Tidsskrift = [ [ Applied Physics B ] ]
| Volumen = 92 | emne = 4 | sider = 513
| Bibcode = 2008ApPhB..92..513P
| Doi = 10,1007 / s00340-008-3111-6
} } </Ref>
I stedet kan man måle [ [ intensitet ( fysik ) | intensitet ] ] af lyset . De fleste af de koncepter som involverer kohærens som vil blive indført nedenfor blev udviklet inden for optik (fotonik) og derefter anvendt på andre områder . Derfor er mange af de standard målinger af kohærens indirekte målinger , selv i områder, hvor bølgen kan måles direkte.
== Temporal kohærens ==
Temporal kohærens er et mål for den gennemsnitlige korrelation mellem værdien af en bølge og bølgen selv forsinket tiden τ . Temporal Kohærens fortæller os, hvor monokromatisk en kilde er . Med andre ord , den karakteriserer , hvor godt en bølge kan interferere med sig selv på et andet tidspunkt . Forsinkelsen ved hvilken fase eller frekvensen vandrer betydeligt (og dermed korrelationen falder betydeligt ) er defineret som [ [ kohærens tid ] ] '' τ <sub> c </sub > '' . Ved en forsinkelse på τ = 0 er graden af kohærens perfekt , mens den falder betydeligt når forsinkelsen passerer '' τ = τ<sub >c</sub > '' . Kohærens længden [[coherence length]] ''L<sub>c</sub>'' er defineret som den afstand bølgen bevæger sig i tiden τ<sub>c</sub>.<ref name="Hecht2002">{{citation|last =Hecht |first=Eugene|title=Optics|year=2002| location=United States of America | publisher=Addison Wesley| edition= 4th| isbn=0-8053-8566-5 | language=English}}</ref>{{rp|560, 571-573}}
<!--Temporal sammenhæng omdirigerer her-->
[[File:Single frequency correlation.svg|thumb|450px|right| Figur 1: Amplituden af en enkelt frekvens bølge som funktion af tiden '' t '' (rød) og en kopi af den samme bølge forsinket med τ ( grøn). Kohærens tid af den bølge er uendelig, da den er perfekt korreleret med silv til alle tider <ref name = "GerryKnight2005"> {{cite bog |. Author1 = Christopher Gerry | author2 = Peter Knight | title = Indledende Kvanteoptik | år = 2005 | publisher = Cambridge University Press | isbn = 978-0-521-52735-4}} </ref> {{rp | 118}}]].
[[File:phase drift.png|thumb|450px|right| Figur 2: Amplituden af en bølge, hvis fase driver betydeligt i tiden τ <sub> c </sub> som en funktion af tiden '' t '' (rød ) og en kopi af den samme bølge forsinket med 2τ <sub> c </sub> (grøn). På ethvert givet tidspunkt t kan bølgen interferere perfekt med dens forsinkede kopi. Men da de røde og grønne bølger halvdelen af tiden er i fase og den anden halvdel af tiden ud af fase, forsvinder interferrensen ved denne forsinkelse , når gennemsnittet tages over t.]]
=== Relationen mellem kohærens tid og båndbredden ===
Det kan vises , at jo større frekvensområde <math> \Delta f </math> - en bølge indeholder , jo hurtigere dekorrelerer bølgen og jo kortere er τ<sub>c</sub>.
. {{R|Hecht2002|page=358-359, 560}}
:<math>\tau_c \Delta f \lesssim 1</math>.
Formelt følger dette af [[convolution theorem]]et , som relaterer [[Fourier transform]]en af effekt funktionen (Intensiteten af hver frekvens) til dens [[autocorrelation]].{{R|Hecht2002|page=572}}
===Eksempel på temporal kohærens ===
Vi betragter fire eksempler på tidsmæssig kohærens.
*En bølge , der kun indeholder en enkelt frekvens ( monokromatisk ) er perfekt korreleret med sig selv ved alle tidsforsinkelser , i overensstemmelse med ovennævnte forhold . ( Se figur 1 )
*Omvendt vil en bølge , hvis fase driver hurtigt have en kort kohærens tid . ( Se figur 2 )
*Tilsvarende , bølgepakker ([ [ bølgepakke ]] ), som naturligt har en bred vifte af frekvenser , har også en kort kohærens siden bølgen ændrer sig hurtigt . ( Se figur 3 )
*Endelig hvidt lys , som har en meget bred vifte af frekvenser , er en bølge der har en meget kort kohærens tid , det betegnes som ukohærent .
Til Monokromatiske kilder regnes normalt [ [ laser ]]e ; høj monochromaticitet indebærer lange kohærens afstande ( op til flere hundrede meter) . For eksempel kan en stabiliseret singlemode [ [ helium-neon laser ] ] producere lys med kohærens afstande op til 300 m (modsvarende 1 [micro sekund] ) .
<ref name=saleh-teich>{{cite book|last=Saleh, Teich|title=Fundamentals of Photonics|publisher=Wiley}}</ref> Ikke alle lasere er monokromatiske , dog (fx for en mode-locked [ [ Ti- safir laser ] ] , Δλ ≈ 2 nm - 70 nm ) . Lysdioder (som ikke er lasere) er kendetegnet ved Δλ ≈ 50 nm , og wolfram glødelamper udviser Δλ ≈ 600 nm , så disse kilder har kortere kohærens tider end de monokromatiske lasere .
En laser sender hohærent lys ud. I en klassisk laser pumpes elektroner op i en øvre energitilstand af en lysimpuls (flash). Elektronerne vil falde ned i den nedre energistilstand og derved udsende lys. Begynder en elektron at udsende lys vil andre følge efter og fotonerne vil få deres bølger synkroniserede og alle svinge i takt. Det bruges fx. ved holografi hvor et billede dannes ved interferens mellem lasserens direkte lys og det ly der bliver reflekteret af objektet der afbildes.
En diode laser fungerer ikke helt så perfekt. Prøver men at lade en diode lasers lys (fx en ef de røde laserere der typisk bruges i værktøj til afretning og måling) skinne på en væg vil man kunne se nogle små sorte pletter der danser som små fluer i lyspletten. Afstanden skal være så stor at lyspletten bliver 5-10 mm stor. De sorte pletter er kohærent laserlys der modvirker hinanden så lyset slukkes. De sorte pletter lever ikke længe da kohærens tilstanden ikke varer ret længe, dette skyldes de termiske tilstande på laserchippens overflade.
[[ Holography ]] kræver lys med en lang kohærens tid (lyset skal inden for sin kohærens tid nå frem og tilbage fra objekt til filmen/ skærmen) . I modsætning hertil [[ optisk kohærens tomografi ]] bruger lys med en kort kohærens tid .
===Measurement of temporal coherence===
[[File:wave packets.png|thumb|400px|right|Figure 3: Amplituden af en bølgepakke hvis amplitude ændringer betydeligt i tiden τ< sub >c< / sub > ( rød) og en kopi af den samme bølge forsinket med 2τ < sub > c < / sub > ( grøn) afbildet som funktion af tiden '' t '' . På ethvert givet tidspunkt er de røde og grønne bølger er ukorrelerede ; den ene oscillerer mens den anden er konstant, så der vil ikke være nogen interferens ved denne forsinkelse . En anden måde at se på dette er bølgepakkerne overlapper ikke i tid og så på et givent tidspunkt er der kun én nul område, så kan ikke forekomme nogen interferens. ]]
Holakase [[File:interference finite coherence.png|thumb|390px|right|Figur 4: Den gennemsnitlige intensitet ( blå) detekteret på udgangen af et interferometer afbildet som en funktion af forsinkelse τ for eksempel bølger i figur 2 og 3. Da forsinkelsen ændres med en halv periode , skifter interferens mellem konstruktive og destruktiv . De sorte linjer angiver interferens envelope , hvilket giver [[ graden af kohærens ]] . Selvom bølgerne i figur 2 og 3 har forskellige tidsvarigheder , har de den samme kohærens tid . ]]
Indenfor optikken måles temporal kohærens i et interferometer såsom [[Michelson interferometer]] eller [[Mach–Zehnder interferometer]]. I disse apparater kombineres en bølge med et kopi af den selv, forsinket en tid τ. En detektor måler en tid- middelværdi af [[intensity (physics)|intensity]] af lysetfra interferometeret. Den resulterende interferens synlighed (fx. se Figur 4) giver den temporale kohærens ved forsinkelsen τ. Sidende fleste naturlige lyskilder, kohærenstiden er meget kortere end detektorens tidsopløsning, udfører detektorens selv (ved sin langsomme reaktion) en middelværdi. Betragt fx eksemplet i figur 3. ved en bestemt forsinkelse her 2τ<sub>c</sub>, ville en tilstrækkelig hurtig detektor måle en intensitet der fluktuerer signifikantlig over en tid ''t'' lig med τ<sub>c</sub>. I dette tilfælde ville man udføre en manuel tids-udjævning af intensiteten for at finde den temporale kohærens ved 2τ<sub>c</sub>
<br style="clear:both" />
==Spatial coherence==<!--Spatial coherence redirects here-->
I nogle systemer, så som vandbølger eller optik, kan bølgelignende tilstande strække sig over en eller to dimensioner. Rummæsig kohærens beskriver korrelationen mellem bølger i to punkter i rummet ''x<sub>1</sub>'' and ''x<sub>2</sub>''. Mere præsist den rummæsige kohærens er kryds-korrelationen mellem bølger i to forskellige punkter . Afstanden mellem de to punkter over hvilke der er en signifikant interferens kaldes kohærens arealet ''A<sub>c</sub>''.
This is the relevant type of coherence for the Young's double-slit interferometer. It is also used in optical imaging systems and particularly in various types of astronomy telescopes. Sometimes people also use "spatial coherence" to refer to the visibility when a wave-like state is combined with a spatially shifted copy of itself.
===Examples of spatial coherence===
<gallery caption="Spatial coherence" perrow=5>
Image:spatial coherence infinite ex1.png|<small>Figure 5: A plane wave with an infinite [[coherence length]].</small>
Image:spatial coherence infinite ex2.png|<small>Figure 6: A wave with a varying profile (wavefront) and infinite coherence length.</small>
Image:spatial coherence finite.png|<small>Figure 7: A wave with a varying profile (wavefront) and finite coherence length.</small>
Image:spatial coherence pinhole.png|<small>Figure 8: A wave with finite coherence area is incident on a pinhole (small aperture). The wave will [[diffraction|diffract]] out of the pinhole. Far from the pinhole the emerging spherical wavefronts are approximately flat. The coherence area is now infinite while the coherence length is unchanged.</small>
Image:spatial coherence detector.png|<small>Figure 9: A wave with infinite coherence area is combined with a spatially shifted copy of itself. Some sections in the wave interfere constructively and some will interfere destructively. Averaging over these sections, a detector with length D will measure reduced [[interference visibility]]. For example a misaligned [[Mach–Zehnder interferometer]] will do this.</small>
</gallery>
Consider a tungsten light-bulb filament. Different points in the filament emit light independently and have no fixed phase-relationship. In detail, at any point in time the profile of the emitted light is going to be distorted. The profile will change randomly over the coherence time <math>\tau_c</math>. Since for a white-light source such as a light-bulb <math>\tau_c</math> is small, the filament is considered a spatially incoherent source. In contrast, a radio [[Phased array|antenna array]], has large spatial coherence because antennas at opposite ends of the array emit with a fixed phase-relationship. Light waves produced by a laser often have high temporal and spatial coherence (though the degree of coherence depends strongly on the exact properties of the laser). Spatial coherence of laser beams also manifests itself as speckle patterns and diffraction fringes seen at the edges of shadow.
Holography requires temporally and spatially coherent light. Its inventor, [[Dennis Gabor]], produced successful holograms more than ten years before lasers were invented. To produce coherent light he passed the monochromatic light from an emission line of a [[mercury-vapor lamp]] through a pinhole spatial filter.
In February 2011 it was reported that [[helium]] atoms, cooled to near [[absolute zero]] / [[Bose–Einstein condensate]] state, can be made to flow and behave as a coherent beam as occurs in a laser.<ref>
{{cite journal
|last1=Hodgman |first1=S. S.
|last2=Dall |first2=R. G.
|last3=Manning |first3=A. G.
|last4=Baldwin |first4=K. G. H.
|last5=Truscott |first5=A. G.
|year=2011
|title=Direct Measurement of Long-Range Third-Order Coherence in Bose-Einstein Condensates
|journal=[[Science (journal)|Science]]
|volume=331 |issue=6020 |pages=1046–1049
|bibcode=2011Sci...331.1046H
|doi=10.1126/science.1198481
|pmid=21350171
}}</ref><ref>
{{cite web
|last=Pincock |first=S.
|date=25 February 2011
|title=Cool laser makes atoms march in time
|url=http://www.abc.net.au/science/articles/2011/02/25/3149175.htm
|work=[[ABC Science]]
|publisher=[[ABC News Online]]
|accessdate=2011-03-02
}}</ref>
==Spectral coherence==
[[File:Coherent superposition.svg|thumb|right|350px|Figure 10: Waves of different frequencies interfere to form a localized pulse if they are coherent.]]
[[File:spectral coherence continuous.png|thumb|right|350px|Figure 11: Spectrally incoherent light interferes to form continuous light with a randomly varying phase and amplitude]]
Waves of different frequencies (in light these are different colours) can interfere to form a pulse if they have a fixed relative phase-relationship (see [[Fourier transform]]). Conversely, if waves of different frequencies are not coherent, then, when combined, they create a wave that is continuous in time (e.g. white light or [[white noise]]). The temporal duration of the pulse <math>\Delta t</math> is limited by the spectral bandwidth of the light <math>\Delta f</math> according to:
:<math>\Delta f\Delta t \ge 1</math>,
which follows from the properties of the Fourier transform and results in [[Küpfmüller's uncertainty principle]] (for quantum particles it also results in the [[Heisenberg uncertainty principle]]).
If the phase depends linearly on the frequency (i.e. <math>\theta (f) \propto f</math>) then the pulse will have the minimum time duration for its bandwidth (a ''transform-limited'' pulse), otherwise it is chirped (see [[Dispersion (optics)|dispersion]]).
===Measurement of spectral coherence===
Measurement of the spectral coherence of light requires a [[nonlinear optics|nonlinear]] optical interferometer, such as an intensity [[optical autocorrelation|optical correlator]], [[frequency-resolved optical gating]] (FROG), or [[spectral phase interferometry for direct electric-field reconstruction]] (SPIDER).
<br style="clear:both" />
==Polarization coherence==
Light also has a [[polarization (waves)|polarization]], which is the direction in which the electric field oscillates. Unpolarized light is composed of incoherent light waves with random polarization angles. The electric field of the unpolarized light wanders in every direction and changes in phase over the coherence time of the two light waves. An absorbing [[polarizer]] rotated to any angle will always transmit half the incident intensity when averaged over time.
If the electric field wanders by a smaller amount the light will be partially polarized so that at some angle, the polarizer will transmit more than half the intensity. If a wave is combined with an orthogonally polarized copy of itself delayed by less than the coherence time, partially polarized light is created.
The polarization of a light beam is represented by a vector in the [[Polarization (waves)#Parameterization|Poincaré sphere]]. For polarized light the end of the vector lies on the surface of the sphere, whereas the vector has zero length for unpolarized light. The vector for partially polarized light lies within the sphere
==Applications==
===Holography===
Coherent superpositions of ''optical wave fields'' include [[holography]]. Holographic objects are used frequently in daily life in bank notes and credit cards.
===Non-optical wave fields===
Further applications concern the coherent superposition of ''non-optical wave fields''. In quantum mechanics for example one considers a probability field, which is related to the wave function <math>\psi (\mathbf r)</math> (interpretation: density of the probability amplitude). Here the applications concern, among others, the future technologies of [[quantum computing]] and the already available technology of [[quantum cryptography]]. Additionally the problems of the following subchapter are treated.
==Quantum coherence==<!-- This section is linked from [[quantum entanglement]] -->
{{Refimprove|date=December 2015}}
In [[quantum mechanics]], all objects have wave-like properties (see [[Matter wave|de Broglie wave]]s). For instance, in Young's [[double-slit experiment]] electrons can be used in the place of light waves. Each electron's wave-function goes through both slits, and hence has two separate split-beams that contribute to the intensity pattern on a screen. According to standard wave theory (Fresnel, Huygens) these two contributions give rise to an intensity pattern of bright bands due to constructive interference, interlaced with dark bands due to destructive interference, on a downstream screen. (Each split-beam, by itself, generates a diffraction pattern with less noticeable, more widely spaced dark and light bands.) This ability to interfere and diffract is related to coherence (classical or quantum) of the wave. The association of an electron with a wave is unique to quantum theory.
When the incident beam is represented by a quantum [[pure state]], the split beams downstream of the two slits are represented as a [[Quantum superposition|superposition]] of the pure states representing each split beam. (This has nothing to do with two particles or [[Bell's inequalities]] relevant to an entangled state: a 2-body state, a kind of coherence between two 1-body states.) The quantum description of imperfectly coherent paths is called a [[Mixed state (physics)|mixed state]]. A perfectly coherent state has a [[density matrix]] (also called the "statistical operator") that is a projection onto the pure coherent state, while a mixed state is described by a classical probability distribution for the pure states that make up the mixture.
[[Macroscopic scale]] quantum coherence leads to novel phenomena, the so-called [[macroscopic quantum phenomena]]. For instance, the [[laser]], [[superconductivity]] and [[superfluidity]] are examples of highly coherent quantum systems whose effects are evident at the macroscopic scale. The macroscopic quantum coherence (Off-Diagonal Long-Range Order, ODLRO) [O. Penrose & L. Onsager, Phys. Rev. 104, 576 (1956); [[Chen Ning Yang|C. N. Yang]], Rev. Mod. Phys. 34 (1962)] for superfluidity, and laser light, is related to first-order (1-body) coherence/ODLRO, while superconductivity is related to second-order coherence/ODLRO. (For fermions, such as electrons, only even orders of coherence/ODLRO are possible.) Superfluidity in liquid He4 is related to a partial [[Bose–Einstein condensate]]. Here, the condensate portion is described by a multiply-occupied single-particle state. [e.g., F. W. Cummings & J. R. Johnston, Phys. Rev. 151 (1966); Errata 164, 270 (1967)]
| 