Versionen fra 22. apr. 2019, 10:32 redigér Inc (diskussion \| bidrag) Patruljanter 12.171 edits m småret Tag: 2017-kilderedigering ← Gå til forrige forskel		Versionen fra 12. jun. 2019, 01:55 redigér fjern redigering Inc (diskussion \| bidrag) Patruljanter 12.171 edits m kosmetisk Tag: 2017-kilderedigering Gå til næste forskel →
Linje 3: Givet en funktional på formen :<math>J[q_1,...,q_n]=\int_{a}^{b} L(x,q_1(x),...,q_n(x),q'_1(x),...,q_n'(x))dx</math> da er den første funktional-afledte mht.<math>q_i</math> ved <math>x</math> givet ved: :<math>{\delta J\over \delta q_i(x)}={\partial L\over\partial q_i}-{\operatorname d \over \operatorname dx} {\partial L\over\partial q'_i}</math> <math>J</math> er stationær, når den [[funktional-afledte]] er lig nul, hvorved Euler-Lagrange-ligningerne fås: :<math>{\partial L\over\partial q_i}-{\operatorname d \over \operatorname dx} {\partial L\over\partial q'_i}=0 \quad \forall i</math> == Endimensionelt eksempel == Et bestemt mekanisk system beskrevet ved én koordinat ''x'' har Lagrangefunktionen: :<math>L(x,\dot x)=T(\dot x)-V(x)=\frac{1}{2}m\dot x^2-V(x)</math> Dvs. at den [[Kinetisk energi\|kinetiske energi]] er givet som for en klassisk punktmasse med massen ''m'' og hastigheden <math>\dot x \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} {\operatorname{d}x\over\operatorname{d}\!t}</math>, mens den [[Potentiel energi\|potentielle energi]] afhænger af positionen (den potentielle energi ville i det mest brugte eksempel, hvor partiklen befinder sig i et homogent tyngdefelt være givet på formen <math>V(x)=mgx</math>). Linje 22: Systemet vil udvikle sig således at [[Virkning (fysik)\|virkningen]] stationeres, og systemets [[dynamik]] er da beskrevet ved Euler-Lagrange-ligningen: :<math> \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot x}\right)- \frac{\partial L}{\partial x} = 0</math> :<math>\Downarrow</math> :<math> \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial \left(\frac{1}{2}m\dot x^2-V(x)\right)}{\partial \dot x}\right)- \frac{\partial \left(\frac{1}{2}m\dot x^2-V(x)\right)}{\partial x} = 0</math> :<math>\Downarrow</math> :<math> \frac{d}{dt} \left(m\dot x\right)+ \frac{\partial V(x)}{\partial x} = 0</math> :<math>\Downarrow</math> :<math> m\ddot x+ \frac{\partial V(x)}{\partial x} = 0</math> :<math>\Downarrow</math> :<math>m\ddot x=-\frac{\partial V(x)}{\partial x} \qquad (1)</math> Eftersom den dobbelte tidsafledte mht. positionen er accelerationen og den positionsafledte mht. det negative potentiale svarer til kraftkomposanten i retning af x, svarer <math>(1)</math> til [[Newtons anden lov]]. :<math>F = m\ddot x</math><nowiki/> {{fysikstub}}

Euler-Lagrange-ligning: Forskelle mellem versioner