Abels sætning

I reel analyse relaterer Abels sætning for potensrækker en potensrækkes grænseværdi med summen af dens koefficienter. Sætningen er opkaldt efter den norske matematiker Niels Henrik Abel.

SætningRediger

Lad a = {ai: i ≥ 0} være en følge af reelle eller komplekse tal og lad

 

være potensrækken med koefficienter a. Antag at rækken   konvergerer. Da gælder, at

 

I det specielle tilfælde, hvor alle koefficienter ai er reelle og ai ≥ 0 for alle i gælder ovenstående formel   også, når rækken   ikke konvergerer. Det vil sige, at begge sider er lig  

BemærkningRediger

I en mere generel version af denne sætning gælder, at hvis r er et reelt tal forskelligt fra nul, for hvilket rækken   konvergerer, er

 

forudsat at grænseværdien forstås som grænseværdien fra venstre, hvis r er positiv og fra højre, hvis r er negativ.

EksemplerRediger

Lad   Da   konvergerer (af konvergenskriteriet for alternerende rækker,) fås at

 

Lad   Igen fås af konvergenskriteriet for alternerende rækker, at   konvergerer, og at

 

AnvendelseRediger

Abels sætning giver mulighed for at finde grænseværdien af en potensrække, når dens argument (dvs. z) nærmer sig 1 fra venstre, selv i tilfælde, hvor rækkens konvergensradius, R, er lig 1, hvor det så under normale omstændigheder ikke er muligt at bestemme, hvorvidt grænsen er endelig eller ej.

Ga(z) kaldes den genererende funktion for en følge a. Abels sætning er ofte anvendelig i behandlingen af genererende funktioner for reelle og ikke-negative følger, såsom sandsynlighedsgenererende funktioner. Specielt er den brugbar i teorien for Galton-Watson-processer.