Ampère-Maxwells lov

Ampère-Maxwells lov er en af de grundlæggende ligninger i klassisk elektromagnetisme.

Ampères lov beskrev oprindeligt, hvordan strøm giver anledning til et magnetfelt $\mathbf {B}$ - det fundamentale princip bag elektromagneter - men senere tilføjede James Clerk Maxwell, at et magnetfelt også kan dannes af et varierende elektrisk felt $\mathbf {E}$. Det er dette, der muliggør eksistensen af elektromagnetisk stråling.

Faradays induktionslov minder om Ampère-Maxwells lov og beskriver, hvordan ændringer i et magnetfelt giver anledning til et elektrisk felt.

Loven på integral-form

Ampères lov viser, at der er et magnetfelt omkring en ledning, når strøm går igennem den.

Ampère-Maxwells fulde lov på integral-form lyder:

$\oint _{C}\mathbf {B} \cdot {\text{d}}\mathbf {l} =\mu _{0}\int _{S}\mathbf {J} \cdot {\text{d}}\mathbf {A} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}t}}\int _{S}\mathbf {E} \cdot {\text{d}}\mathbf {A}$

På venstresiden er magnetfeltet integreret over kurven $C$, der omkranser en flade $S$. På højresiden står der to termer. Den første er Ampères og er strømtætheden integreret over arealet af $S$. Jo flere ladninger, der bevæger sig igennem arealet, jo større vil magnetfeltet altså være. Den samlede strøm $i$ igennem arealet er blot:

$i=\int _{S}\mathbf {J} {\text{ d}}\mathbf {A}$

$\mu _{0}$ er en konstant kaldet vakuumpermeabiliteten. Den anden term er Maxwells senere tilføjelse og angiver, at det elektriske felt integreret over fladen - dvs. den elektriske flux - skaber et magnetisk felt, når det ændrer sig. $\varepsilon _{0}$ er en anden konstant kaldet vakuumpermettiviteten.

Eksempel med Ampères lov

I Ampères simplere lov regnes det andet led for negligibelt. Ved at bruge strømmen i stedet for strømtætheden kan Ampères lov altså skrives som:

$\oint _{C}\mathbf {B} \cdot {\text{d}}\mathbf {l} =\mu _{0}i$

Hvis området $S$ er en cirkel med radius $r$, er omkredsen givet ved:

$O=2\pi r$

hvilket er kurven $C$'s størrelse. Hvis strømmen er fordelt rotationssymmetrisk, må det magnetiske felt være lige stort alle steder på kurven og kan derfor tages uden for integralet. Integralet giver da bare omkredsen:

$BO=B2\pi r=\mu _{0}i$

Magnetfeltets størrelse $B$ er altså givet ved:

$B={\frac {\mu _{0}i}{2\pi r}}$

Dette er magnetfeltet, der fx kan findes omkring en ubeskyttet ledning. Det falder i styrke med én over afstanden.

Loven på differentialform

Alt afhængig af formålet kan det være fordelagtigt at formulere Ampère-Maxwells lov som differentialligning i stedet. Ved at anvende Stokes' sætning på venstresiden og Leibniz' integralregel på Maxwells tilføjelse kan loven skrives som:

${\begin{aligned}\int _{S}(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot d\mathbf {A} &=\mu _{0}\int _{S}\mathbf {J} \cdot {\text{d}}\mathbf {A} +\mu _{0}\varepsilon _{0}\int _{S}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\cdot {\text{d}}\mathbf {A} \\\int _{S}(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot d\mathbf {A} &=\int _{S}\left(\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\cdot {\text{d}}\mathbf {A} \end{aligned}}$

Hvis dette skal gælde for alle integrander, må integranderne også være lig med hinanden. Differentialformen bliver altså:

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

Denne form er fx nyttig til at vise, at lys er elektromagnetisk stråling. Det viser sig nemlig, at lysets hastighed er relateret til permeabilitet og primitivitet ved

$\mu _{0}\varepsilon _{0}={\frac {1}{c^{2}}}$

hvor $c$ er lysets hastighed.

Eksterne henvisninger

• Ampère's Law fra Crash Course