Andengradspolynomium

Et andengradspolynomium er et polynomium, hvori den uafhængige variabel indgår i op til anden potens. Det har altså følgende forskrift:

hvor er en funktion af den uafhængige variabel , og , og er konstanter.

En funktion uden andenordensleddet er et førstegradspolynomium. En funktion, hvor det højeste led er af tredje orden, er et tredjegradspolynomium.

Konstanternes rolleRediger

 
Andengradspolynomiets graf i kartesiske koordinater er en parabel. I hvert billede varieres én af konstanter  ,   og  , mens da andre holdes konstante.

Hvis konstanten   ændres, ændrer funktionsværdierne sig lige så meget. Konstanten   afgør sammen med  , hvor funktionens ekstremum er, mens   alene bestemmer krumningen eller den anden afledte, idet:

 

Det ses, at krumningen bliver større, når   bliver større, og et negativt   giver en negativ krumning.

NulpunkterRediger

  Uddybende artikel: Andengradsligning
 
 -værdierne til de punkter hvor andengradspolynomiet   skærer  -aksen er   og  , hvilket er løsninger til andengradsligningen  

For andengradspolynomiets nulpunkter eller rødder   gælder

 

hvilket er en andengradsligning.

LøsningRediger

Nulpunkterne er givet ved

 

hvor udtrykket i kvadratroden er diskriminanten  :

 

Diskriminanten er afgørende for hvilke løsninger, der er mulige. Det gælder:

  •  : 2 reelle løsninger:
  •  : 1 reel løsning; denne løsning kaldes en dobbeltrod.
  •  : Ingen reelle løsninger, men 2 komplekst konjugerede løsninger. Dette sker, fordi kvadratroden tages af et negativt tal.

SymmetriRediger

Andengradspolynomiet er symmetrisk omkring ét enkelt punkt   givet ved:

 

Bevis for symmetriRediger

Det kan vises ved at teste, om der findes et punkt, der opfylder symmetribetingelsen:

 

hvor   er en konstant. Forskriften skrives ud og forsimples så vidt muligt:

 

Kun nul kan være lig med minus sig selv. Da   er større end nul, må udtrykket i parentesen være nul:

 

Det ses, at der altså er et punkt, som polynomiet er symmetrisk omkring. Dette er også polynomiets ekstremum, da funktionen enten er stigende på begge sider af punktet eller faldende på begge sider af punktet.

EkstremumRediger

Et andengradspolynomium har altid ét ekstremum  , og koordinaterne for dette er bestemt ved følgende formel:

 

Det vil enten være et minimum eller et maksimum afhængigt af, om konstanten   er positiv eller negativ.

Udledning af ekstremumRediger

Da  -værdien for polynomiet allerede er fundet under Symmetri, kan den indsættes i funktionsforskriften for at finde  -værdien:

 

hvilket er det ønskede udtryk.

Udledning ved differentiationRediger

Hvis  -værdien ikke allerede kendes fra symmetrien, kan den findes ved at differentiere andengradspolynomiet, da hældningen i et ekstremum er nul. Hældningen er givet ved:

 

Dette sættes til nul, så   kan findes:

 

Det ses, at ekstremum er det samme som symmetripunktet.

OmskrivningerRediger

Forskriften for et andengradspolynomium kan omskrives, så forskellige aspekter ved polynomiet bliver tydeligere. Herunder præsenteres faktorisering og toppunktsnotation.

FaktoriseringRediger

For at gøre rødderne tydelige kan et andengradspolynomium skrives som:

 

Bevis for faktoriseringRediger

At polynomiet kan udtrykkes med rødderne, kan vises. Først ganges parenteserne sammen:

 

Generelt er rødderne:

 

Dette indsættes:

 

Udtrykket for diskriminanten indsættes nu:

 

Hvilket er det oprindelige udtryk.

ToppunktsnotationRediger

For at gøre polynomiets ekstremum tydeligt, kan forskriften skrives som:

 

Bevis for toppunktsnotationRediger

Ligesom faktorisering kan denne notation vises ved at indsætte udtrykkene for ekstremum:

 

Udtrykket for diskriminanten indsættes:

 

Hvilket er det oprindelige udtryk.

LitteraturRediger

  • Karush, William (1962): Matematisk opslagsbog, Politikens Forlag (2. udg., 4. opl. 2000); ISBN 87-567-5511-2.

Eksterne henvisningerRediger