Apérys konstant er en konstant , der er fundet i en række tilfælde, fx i elektronens gyromagnetiske ratio og i kvanteelektrodynamik . Konstanten er lig summen af det reciprokke af de positive kubiktal . Konstanten er defineret som tallet ζ(3). Konstanten er opkaldet efter Roger Apéry , som i 1978 beviste at tallet er et irrationelt tal .
Tallet kan skrives som:
ζ
(
3
)
=
1
+
1
2
3
+
1
3
3
+
1
4
3
+
…
{\displaystyle \zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\ldots }
hvor ζ er Riemanns zetafunktion . Det har værdien
ζ
(
3
)
=
1.20205
69031
59594
28539
97381
61511
44999
07649
86292
…
{\displaystyle \zeta (3)=1.20205\;69031\;59594\;28539\;97381\;61511\;44999\;07649\;86292\,\ldots }
Ian Cutress offentliggjorde 6. juni 2019 sin beregning af ζ(3) med 1.000.000.000.000 decimaler. Dette er nuværende (pr. 2019 ) verdensrekorden i højeste antal cifre på Apérys konstant.[1]
Apérys sætning
redigér
Værdien er opkaldt efter Roger Apéry (1916 – 1994), som i 1977 beviste, at tallet var irrationalt . Dette resultat er kendt som Apérys sætning . Det oprindelige bevis er komplekst og svært at forstå, og kortere beviser er fundet siden hen ved brug af Legendrepolynomier .
Resultatet er forblevet forholdsvis isoleret: Der vides kun lidt om ζ(n ) for andre ulige tal n .
Rækkerepræsentation
redigér
I 1772 gav Leonhard Euler rækkerepræsentationen
ζ
(
3
)
=
π
2
7
[
1
−
4
∑
k
=
1
∞
ζ
(
2
k
)
(
2
k
+
1
)
(
2
k
+
2
)
2
2
k
]
,
{\displaystyle \zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left[1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)2^{2k}}}\right],}
som siden er blevet genopdaget adskillige gange, bl.a. af Ramaswami i 1934.
Simon Plouffe gav adskillige rækker, der er betydningsfulde, idet de kan bruges til at give flere tals præcision pr. iteration. Heriblandt er de følgende:
ζ
(
3
)
=
7
180
π
3
−
2
∑
n
=
1
∞
1
n
3
(
e
2
π
n
−
1
)
{\displaystyle \zeta (3)={\frac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}-1)}}}
og
ζ
(
3
)
=
14
∑
n
=
1
∞
1
n
3
sinh
(
π
n
)
−
11
2
∑
n
=
1
∞
1
n
3
(
e
2
π
n
−
1
)
−
7
2
∑
n
=
1
∞
1
n
3
(
e
2
π
n
+
1
)
{\displaystyle \zeta (3)=14\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\sinh(\pi n)}}-{\frac {11}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}-1)}}-{\frac {7}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}+1)}}}
Man har desuden fundet mange andre rækkerepræsentationer; herunder:
ζ
(
3
)
=
8
7
∑
k
=
0
∞
1
(
2
k
+
1
)
3
{\displaystyle \zeta (3)={\frac {8}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{3}}}}
ζ
(
3
)
=
4
3
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
(
k
+
1
)
3
{\displaystyle \zeta (3)={\frac {4}{3}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{3}}}}
ζ
(
3
)
=
5
2
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
(
n
!
)
2
n
3
(
2
n
)
!
{\displaystyle \zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {(n!)^{2}}{n^{3}(2n)!}}}
ζ
(
3
)
=
1
4
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
56
n
2
−
32
n
+
5
(
2
n
−
1
)
2
(
(
n
−
1
)
!
)
3
(
3
n
)
!
{\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {56n^{2}-32n+5}{(2n-1)^{2}}}{\frac {((n-1)!)^{3}}{(3n)!}}}
ζ
(
3
)
=
8
7
−
8
7
∑
t
=
1
∞
(
−
1
)
t
2
−
5
+
12
t
t
(
−
3
+
9
t
+
148
t
2
−
432
t
3
−
2688
t
4
+
7168
t
5
)
t
!
3
(
−
1
+
2
t
)
!
6
(
−
1
+
2
t
)
3
(
3
t
)
!
(
1
+
4
t
)
!
3
{\displaystyle \zeta (3)={\frac {8}{7}}-{\frac {8}{7}}\sum _{t=1}^{\infty }{\frac {{\left(-1\right)}^{t}\,2^{-5+12\,t}\,t\,\left(-3+9\,t+148\,t^{2}-432\,t^{3}-2688\,t^{4}+7168\,t^{5}\right)\,{t!}^{3}\,{\left(-1+2\,t\right)!}^{6}}{{\left(-1+2\,t\right)}^{3}\,\left(3\,t\right)!\,{\left(1+4\,t\right)!}^{3}}}}
ζ
(
3
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
205
n
2
+
250
n
+
77
64
(
n
!
)
10
(
(
2
n
+
1
)
!
)
5
{\displaystyle \zeta (3)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {205n^{2}+250n+77}{64}}{\frac {(n!)^{10}}{((2n+1)!)^{5}}}}
og
ζ
(
3
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
P
(
n
)
24
(
(
2
n
+
1
)
!
(
2
n
)
!
n
!
)
3
(
3
n
+
2
)
!
(
(
4
n
+
3
)
!
)
3
{\displaystyle \zeta (3)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {P(n)}{24}}{\frac {((2n+1)!(2n)!n!)^{3}}{(3n+2)!((4n+3)!)^{3}}}}
hvor
P
(
n
)
=
126392
n
5
+
412708
n
4
+
531578
n
3
+
336367
n
2
+
104000
n
+
12463.
{\displaystyle P(n)=126392n^{5}+412708n^{4}+531578n^{3}+336367n^{2}+104000n+12463.\,}
Nogle af disse er brugt til at beregne Apérys konstant med flere millioner decimaler.
Apérys konstant kan udtrykkes ved hjælp af en andetordens polygammafunktion som
ζ
(
3
)
=
−
1
2
ψ
(
2
)
(
1
)
.
{\displaystyle \zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\,\psi ^{(2)}(1).}
Integralrepræsentation
redigér
Der er en del integralrepræsentationer for Apérys konstant.
Denne repræsentation er dannet af rækkerepræsentation.
ζ
(
3
)
=
∫
0
1
∫
0
1
∫
0
1
1
1
−
x
y
z
d
x
d
y
d
z
{\displaystyle \zeta (3)=\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-xyz}}\,dx\,dy\,dz}
.
De næste to er dannet direkte af de kendte integralformer for Riemanns zetafunktion :
ζ
(
3
)
=
∫
0
1
∫
0
1
∫
0
1
1
1
−
x
y
z
d
x
d
y
d
z
{\displaystyle \zeta (3)=\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-xyz}}\,dx\,dy\,dz}
. og
ζ
(
3
)
=
∫
0
1
∫
0
1
∫
0
1
1
1
−
x
y
z
d
x
d
y
d
z
{\displaystyle \zeta (3)=\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-xyz}}\,dx\,dy\,dz}
Et eksempel på en kompliceret formel, fundet af Johan Jensen [2] :
ζ
(
3
)
=
π
∫
0
∞
cos
(
2
arctan
x
)
(
x
2
+
1
)
(
cosh
1
2
π
x
)
2
d
x
{\displaystyle \zeta (3)=\pi \!\!\int _{0}^{\infty }\!{\frac {\cos(2\arctan {x})}{\left(x^{2}+1\right)\left(\cosh {\frac {1}{2}}\pi x\right)^{2}}}\,dx}
V. Ramaswami, Notes on Riemann's ζ-function , (1934) J. London Math. Soc. 9 pp. 165-169.
Roger Apéry, Irrationalité de ζ(2) et ζ(3) , (1979) Astérisque, 61 :11-13.
Alfred van der Poorten , A proof that Euler missed. Apéry's proof of the irrationality of ζ(3). An informal report. ,(1979) Math. Intell., 1 :195-203.
Simon Plouffe, Identities inspired from Ramanujan Notebooks II Arkiveret 30. januar 2009 hos Wayback Machine , (1998)
Simon Plouffe, Zeta(3) or Apery constant to 2000 places Arkiveret 5. februar 2008 hos Wayback Machine , (undated).
Xavier Gourdon & Pascal Sebah, The Apéry's constant: z(3)
^ Rekorder . Hentet 15. august 2019.
^ Jensen, Johan Ludwig William Valdemar (1895), "Note numéro 245. Deuxième réponse. Remarques relatives aux réponses du MM. Franel et Kluyver", L'Intermédiaire des Mathématiciens, II: 346–347.