Lagrange-multiplikator

metode til at optimere en funktion med sidebetingelser

En Lagrange-multiplikator bruges til at finde ekstrema - dvs. maksimum eller minimum - for en funktion givet en til flere sidebetingelser.[1]

Illustration af et optimeringsproblem med to variable og og med en sidebetingelse. Den røde kurve er betingelsen . De blå kurver er derimod konturer for funktionen . Det ses, at punktet, hvor rød og blå tangerer, er det optimale punkt.

MetodenRediger

  kan være en funktion af   variable  ,  ... og  . Sidebetingelsen kan formuleres som en funktion  , der skal være lig med nul:

 

Funktionen   er maksimeret eller minimeret uden sidebetingelse, når gradient er nul:

 

hvor   er nabla-operatoren. Dvs. at alle hældninger mht. alle variable skal være nul.

For at indføre sigebetingelsen benyttes det, at de to funktioner skal røre hinanden tangentielt som illustreret i figuren. Da en gradient er vinkelret på en konturlinje. Vil det sige, at de to gradienter skal være parallelle:

 

hvilket også kan skrives som en proportionalitet:

 

Dvs. at en ny størrelse kan defineres, hvis gradient skal være nul:

 

Her er   en proportionalitetskonstant kaldet en Lagrange-multiplikator. Denne ligning giver et ligningssystem, som kan løses.[1]

KildehenvisningerRediger

  1. ^ a b Blundell, Stephen J.; Blundell, Katherine M. (2006). "C.13 Lagrange multipliers". Concepts in Thermal Physics (engelsk) (1. udgave). Oxford University Press. s. 449-450. ISBN 978-0-19-856770-7.