Bruger:Inc/Sandkasse 8

Separation af de variable er betegnelsen for en matematisk metode til løsning af differentialligninger, hvor differentialkvotienten af y er lig en funktion af x multipliceret med en funktion af y. Matematisk kan det skrives:

${\frac {\mathrm {d} {y}}{\mathrm {d} {x}}}={h(x)}{g(y)}$

Ved seperation af de variable finder man, at det medfører, at det ubestemte integral af 1 over funktionen af y er lig det ubestemte integral af funktionen af x. Ved matematisk notation kan det udtrykkes:

$\int {\frac {1}{g(y)}}\mathrm {d} {y}=\int {h(x)}\mathrm {d} {x}$

Ud fra dette er det lettere at isolere y og dermed løse differentialligningen.

Generel anvendelse

Separation af de variable kan kun bruges til løsning af differentialligninger af typen:

${\frac {\mathrm {d} {y}}{\mathrm {d} {x}}}={h(x)}{g(y)}$

De enkelte symboler er:

• ${y}$ - løsning på differentialligningen og en funktion af x (skrives alternativt f(x))
• ${\frac {\mathrm {d} {y}}{\mathrm {d} {x}}}$ - y's differentialkvotient
• ${h(x)}$ - en funktion af x (ikke at forveksle med y)
• ${g(y)}$ - en funktion af y

Differentialligning man anvender separation af de variable på skal altså kunne skrives, evt. ved omskrivning, som differentialkvotienten af y lig to faktorer, hvori der indgår x, men ikke y, i den ene og y, men ikke x, i den anden.

Målet er at opnå en ny sammenhæng, der lyder:

$\int {\frac {1}{g(y)}}\mathrm {d} {y}=\int {h(x)}\mathrm {d} {x}$

Symbolerne er her:

• $\int {\frac {1}{g(y)}}\mathrm {d} {y}=\int {h(x)}\mathrm {d} {x}$