Differentialregning

(Omdirigeret fra Differentialkvotient)
Differentiering omdirigeres hertil. For differentiering i forbindelse med undervisning, se Undervisningsdifferentiering.

Differentialregning udgør sammen med integralregning den matematiske disciplin der hedder infinitesimalregning.[1] Differentialregningen beskæftiger sig med, hvor meget en såkaldt afhængig variabel ændres, hvis der sker små ændringer i den variabel, den afhænger af, den uafhængige variabel. Forholdet mellem ændringerne i hhv. den afhængige og den uafhængige variabel kaldes differentialkvotienten, og spiller en central rolle i differentialregningen.

Den grønne, røde og sorte linje (tangent) viser differentialkvotientens variation ved forskellige x-værdier for funktionen: . Grøn positiv differentialkvotient, rød negativ og sort nul.

Et dagligdags eksempel er sammenhængen mellem bruttoløn og lønnen efter skat: Hvis bruttolønnen stiger med én krone, ændres lønnen efter skat med f.eks. 53 øre. Differentialkvotienten er i dette tilfælde 0,53. Matematisk vil man betragte nettolønnen som en funktion af bruttolønnen, og differentialkvotienten svarer i dette tilfælde til marginalindkomsten (en krone minus marginalskatten) ved denne bruttoløn.

I eksemplet med lønnen bør man bemærke, at på grund af progressionen i bl.a. det danske skattesystem varierer marginalskatten: Har man i forvejen en lav løn, mærker man en større stigning i nettolønnen end hvis lønnen er større, dette kaldes progressiv beskatning. Med andre ord varierer differentialkvotienten med den uafhængige variabel (bruttolønnen), og er dermed selv en funktion af denne; en funktion der angiver hvor meget "glæde" man har af én krones lønforhøjelse.

Differentialkvotient i et punkt

redigér

Formel definition

redigér

Lad   være en funktion og lad   være et punkt i funktionens definitionsmængde.

For at undersøge om funktionen   er differentiabel i punktet  , skal man undersøge om differenskvotienten

 

har en grænseværdi   for   gående mod   [2].

Hvis grænseværdien findes, så siges funktionen at være differentiabel i punktet  .

Tallet   kaldes for funktionens differentialkvotient i punktet  .


Hvis en funktion   er differentiabel i   med differentialkvotient   skrives også:

 .

Funktionen   som til ethvert punkt knytter den tilhørende differentialkvotient kaldes den afledede funktion af  .

Fortolkning

redigér

Da   er ændringen i funktionsværdi, når   vokser fra   til   kan differenskvotienten

 

tolkes som den gennemsnitlige ændring i funktionsværdi pr  -enhed [svarer til gennemsnitshastighed].

Differentialkvotienten fremkommer som grænseværdien for differenskvotienten når   går mod 0.

Differentialkvotienten kan derfor tolkes som den øjeblikkelige ændring i funktionsværdi pr  -enhed [svarer til øjeblikshastighed].


Grafisk fortolkes differenskvotienten som hældningen på sekanten, som forbinder punkterne   og  .

Differentialkvotienten fortolkes som hældningen på tangenten i punktet  .

Notation

redigér

Differentialregning som disciplin har mange år på bagen og matematikere i gennem tiden brugt forskellige notationer [3].

For den afledede funktion til   bruges i dag Leibnitz' notation   eller   eller  .

Newtons prik-notation   bruges ikke længere i matematik, men har overlevet enkelte steder i fysiken.


For differentialkvotienten for   i punktet   bruges notationerne:

 

Sprogbrug

redigér

De fleste (men ikke alle) matematiske funktioner kan beskrives ved en forskrift; et regneudtryk der beregner funktionsværdien (også kaldet den afhængige variabel)   ud fra værdien af den uafhængige variabel  . Det at bestemme den afledede funktion   udfra   kaldes at differentiere funktionenen. Man bruger altså differentiering til at bestemme en funktions afledede.

Regneregler

redigér

Ovenstående definition kan bruges til at "omregne" forskriften for en funktion, til forskriften for samme funktions afledede.[4] Man kan f.eks. påvise at:

  •  , hvor   er en konstant, har den afledede  
  •  , hvor   er en konstant, har den afledede  
  •   har den afledede  , og heraf
  •   har den afledede  
  • Sinus-funktionen   har den afledede  
  • Cosinus-funktionen   har den afledede  
  • Tangens,  , har den afledede  
  • Den naturlige eksponentialfunktion,  , er sin egen afledede.
  • Eksponentialfunktionen,   hvor   er en konstant, har differentialkvotienten  , hvor   er den naturlige logaritmefunktion
  • Den naturlige logaritme,  , har differentialkvotienten  

Funktioner der er sammensatte funktioner samt funktioner der er summen, differensen, produktet eller kvotienten af to differentiable funktioner er selv differentiable (med visse, åbenlyse begrænsninger i definitionsmængderne). Differentialkvotienterne kan udregnes efter følgende regler:[5]

  •   (kædereglen)[6][7]
  •  
  •  
  •  
  •  

Disse "omregnings-regler"[8] kan alle bevises. Se evt. Matematiske beviser.

Alle differentiable funktioner er kontinuerte, hvorimod kontinuerte funktioner ikke nødvendigvis er differentiable.

Matematik Eksamen & Opgave eksempel

redigér

I følgende opgave bliver der demonstreret, hvordan man kan håndtere en lignende opgave til en evt. matematik eksamen uden hjælpemidler. Du vil have en formelsamling til rådighed, hvor du kan slå regnereglerne for differentiation op. Eksempel neden under er "let", og noget du ikke kan komme ud for Mat B/A skriftlig eksamen. En god huskeregel er, at opgaverne uden hjælpemidler hvor du skal differentiere, langt de fleste gange skal du bruge én af reglerne for sammensatte funktoner. Derfor er det en god idé at træne forskellige og mere komplekse.

Opgave 1) En funktion f er givet ved:

 

 

Svaret vil altså være:

 

Grafer, tangenter og hældningstal

redigér
 
Graferne for en funktion f (øverst) og dens differentialkvotient f'(x) (nederst)

På illustrationen til højre ses øverst grafen for en funktion   (blå kurve): I forskellige punkter langs grafen (grønne pletter) er der indtegnet tangenter[9] til grafen (de røde linjestykker). Hældningstallet for en tangent til grafen for  , tegnet i det punkt der svarer til en bestemt værdi af  , er lig med  .[10]

Den orange kurve nederst på illustrationen er grafen for differentialkvotienten   til funktionen  : Bemærk, at når   er aftagende, er  ' negativ, og de steder hvor   er voksende, er   positiv. De steder hvor tangenterne til grafen for   er vandrette, bliver   lig med nul.

Anvendelse i funktionsanalyse

redigér
  Der er for få eller ingen kildehenvisninger i denne artikel, hvilket er et problem. Du kan hjælpe ved at angive troværdige kilder til de påstande, som fremføres i artiklen.

Ved at finde forskriften for den afledede af en reel funktion  ,  , sætte denne lig med nul og løse den ligning der derved fremkommer, kan man finde de værdier af   hvor grafen for   "vender om",[11] dvs. skifter fra at være voksende til at være aftagende eller omvendt.

Dog skal man være opmærksom på at   f.eks. kan være stigende (hhv. faldende) indtil et vist punkt   hvor differentialkvotienten   er lig med nul, for derefter at stige (hhv. falde) igen. Dette kaldes en vandret vendetangent (eller et saddelpunkt)[1] og punktet er dermed ikke et ekstremumspunkt.[6]

Alle de værdier af   hvor   er lig med nul, og som ikke er saddelpunkter, markerer et såkaldt ekstremum; her antager   den højeste eller laveste værdi, enten for hele funktionens definitionsmængde (såkaldt globalt maksimum eller minimum), eller indenfor et vist område omkring det fundne   (lokalt maksimum eller minimum). Dette benyttes ved funktionsanalyse til at bestemme værdimængden for en given funktion.

Den ovenstående beskrivelse af en funktionsanalyse mht. ekstremumspunkter kaldes også at finde funktionens monotoniforhold. Til analysen kan tegnes en tilhørende monotonilinje, hvor funktionsværdien angives sammen med  's værdi. Ved at se på  's værdier afgøres herved om funktionen er voksende, aftagende eller konstant.

Relation til integralregning

redigér

Differentiering er den omvendte operation af integration: Funktionen   siges at være en stamfunktion til funktionen  , hvis differentialkvotienten af   er  , dvs.:  .

Vender man tilbage til skatteeksemplet i begyndelsen af artiklen, kunne man, hvis man kendte sin marginalindkomst for enhver given indtægt, beregne sin nettoindkomst ved at lægge marginalindkomsterne for hver tjent krone sammen. Dette er netop kernen i integration. Se også Infinitesimalregningens hovedsætning.

Partielle afledede

redigér

Differentialkvotienten beskrevet ovenfor kan generaliseres til det tilfælde hvor en funktion har flere uafhængige variable, f.eks.  . Her definerer man de partielle afledede på samme måde som ovenfor, blot betragter man de andre uafhængige variable som konstanter under differentieringen. For at vise at man har brugt denne fremgangsmåde erstattes det infinitesimale   med  :

 

Tretrinsreglen

redigér

Tretrinsreglen er en metode til at beregne en differentialkvotient ved[12]

1) at opskrive en differenskvotient[13]

2) omdanne differenskvotienten til en differentialkvotient

3) lade differentialkvotientens nævner gå mod nul.[1]

Det approksimerende førstegradspolynomium

redigér

Det approksimerende førstegradspolynomium er betegnelsen for en matematisk formel.[5] Denne formel anvendes til én arbejdsgang at beregne hele forskriften for en tangent til en funktions graf.[14]

Computer Algebra System (CAS)

redigér

Lommeregnere og matematisk software med CAS kan beregne differentialkvotient:

  • Texas Instruments grafregnere TI-92 og TI-89 beregner differentialkvotient med kommandoen:  ( , var) [15]
  • Maplesoft Maple beregner differentialkvotient med kommandoen: diff(f( ), ) [16]
  • Softwaren Xcas beregner differentialkvotient med kommandoen: diff(funktion, ) [17]

Se også

redigér
  • Holth, Klaus m.fl. (1987): Matematik Grundbog 1. Vejle, Forlaget Trip. ISBN 87-88049-18-3
  • Jensen, Steffen og Sørensen, Karin (1989): Differentialregning: En lærebog for matematisk gymnasium. Teori og redskab, 3. København, Christian Ejlers Forlag. ISBN 87-7241-557-6
  • Jessen, Claus m.fl. (1995): Differentialregning: gymnasiematematik, obligatorisk niveau. Matematik - tanke, sprog og redskab. København, Gyldendal Undervisning. ISBN 87-00-19936-2

Referencer

redigér
  1. ^ a b c http://intranet.sctknud-gym.dk/lrere/HS/Noter/Differentialregning_Nspire.pdf
  2. ^ Højniveaumatematik 2, Thomas Hebsgaard og Hans Sloth, Trip Forlag
  3. ^ The History of Notations of the Calculus, Florian Cajori, Annals of Mathematics , Sep., 1923, Second Series, Vol. 25, No. 1 (Sep., 1923), pp. 1-46 https://www.jstor.org/stable/1967725
  4. ^ differentialregning | lex.dk – Den Store Danske
  5. ^ a b "Arkiveret kopi" (PDF). Arkiveret fra originalen (PDF) 29. september 2020. Hentet 21. maj 2020.
  6. ^ a b http://olewitthansen.dk/Matematik/Differentialregning.pdf
  7. ^ http://www.imm.dtu.dk/~jerf/02609/Slides/Uge02_differentialregning.pdf
  8. ^ https://www.matematikfysik.dk/mat/noter_tillaeg/oversigt_differentialregning_integralregning.pdf
  9. ^ http://www.kennethhansen.net/MatMyst/5-Differentialregning.pdf
  10. ^ "Arkiveret kopi" (PDF). Arkiveret fra originalen (PDF) 29. juni 2020. Hentet 27. juni 2020.
  11. ^ differentialregning | lex.dk – Den Store Danske
  12. ^ http://www.mat1.dk/diffregn3del-101.pdf
  13. ^ https://mimimi.dk/MATAA/DifI.pdf
  14. ^ Holth (1987) s. 163-4
  15. ^ "Arkiveret kopi" (PDF). Arkiveret fra originalen (PDF) 5. november 2019. Hentet 21. maj 2020.
  16. ^ diff or Diff - Maple Programming Help
  17. ^ http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac/cascmd_en.pdf