Differentialregning

(Omdirigeret fra Differentialkvotient)
Differentiering omdirigeres hertil. For differentiering i forbindelse med undervisning, se Undervisningsdifferentiering.

Differentialregning udgør sammen med integralregning den matematiske disciplin der hedder infinitesimalregning.[1] Differentialregningen beskæftiger sig med, hvor meget en såkaldt afhængig variabel ændres, hvis der sker små ændringer i den variabel, den afhænger af, den uafhængige variabel. Forholdet mellem ændringerne i hhv. den afhængige og den uafhængige variabel kaldes differentialkvotienten, og spiller en central rolle i differentialregningen.

Den grønne, røde og sorte linje (tangent) viser differentialkvotientens variation ved forskellige x-værdier for funktionen: . Grøn positiv differentialkvotient, rød negativ og sort nul.

Et dagligdags eksempel er sammenhængen mellem bruttoløn og lønnen efter skat: Hvis bruttolønnen stiger med én krone, ændres lønnen efter skat med f.eks. 53 øre. Differentialkvotienten er i dette tilfælde 0,53. Matematisk vil man betragte nettolønnen som en funktion af bruttolønnen, og differentialkvotienten svarer i dette tilfælde til marginalindkomsten (en krone minus marginalskatten) ved denne bruttoløn.

I eksemplet med lønnen bør man bemærke, at på grund af progressionen i bl.a. det danske skattesystem varierer marginalskatten: Har man i forvejen en lav løn, mærker man en større stigning i nettolønnen end hvis lønnen er større, dette kaldes progressiv beskatning. Med andre ord varierer differentialkvotienten med den uafhængige variabel (bruttolønnen), og er dermed selv en funktion af denne; en funktion der angiver hvor meget "glæde" man har af én krones lønforhøjelse.

DifferentialkvotientenRediger

NotationRediger

Man anvender en del forskellige skrivemåder for differentialkvotienter:

  •   har differentialkvotienten  , og det læses y mærke (af) x. I visse sammenhænge skriver man blot   (læses y mærke). Når denne notation bruges, må det af sammenhængen fremgå hvad der er den uafhængige variabel hvis variationer påvirker  .
  • En variant af denne er  , der læses y prik eller y punkt. Denne notation benyttes kun når den uafhængige variabel er tiden. Varianten har sin oprindelse i fysik.
  • Leibniz' notation: Differentialkvotienten til   skrives som   eller blot  , og det læses d-y over d-x (dvs. meget kort pause mellem d og y etc.) eller blot d-y d-x. Den sidste form kan føre til forvirring da produktet   også benyttes i infinitesimalregningen, og også læses d-y d-x.
  • En sidste variant er  .

UdregningRediger

De fleste (men ikke alle) matematiske funktioner kan beskrives ved en forskrift; et regneudtryk der beregner funktionsværdien (også kaldet den afhængige variabel)   ud fra den uafhængige variabel  . Ved hjælp af differentialregning kan man beregne forskriften for den afledede af  ; dvs. den funktion der i ethvert punkt er  's differentialkvotient i samme punkt. Dette kaldes at differentiere funktionen eller differentiering.

Man kan tilnærmelsesvist beregne differentialkvotienten for en funktion   i et givet punkt  , ved at betragte et punkt en anelse ved siden af. Hvis forskellen mellem de to punkters  -værdier kaldes  , er tilvæksten i funktionen fra   til   lig  . Forholdet mellem tilvæksten i   (kaldet  ) og tilvæksten i   er derved:

 

Dette er det samme som hældningstallet for den linje der går igennem de to punkter   og  . Jo mindre   bliver, dvs. jo tættere de to punkter kommer på hinanden, desto tættere kommer   på den eksakte værdi for differentialkvotienten   i punktet  .

Hvis man sætter   lig med nul, burde man således få den eksakte værdi, men dette gør samtidig at nævneren i den sidst nævnte brøk bliver lig med nul – og man kan som bekendt ikke dividere med nul. I stedet bruger man grænseværdier til at beregne den værdi som hældningstallet nærmer sig, når   nærmer sig nul, dvs.

 

Hvis ovenstående grænseværdi findes for ethvert punkt i funktionens definitionsmængde, siges funktionen at være differentiabel.

Man ser her begrundelsen for notationen   – når   går mod nul, dvs. bliver infinitesimal, skriver man den som  .

RegnereglerRediger

Ovenstående definition kan bruges til at "omregne" forskriften for en funktion, til forskriften for samme funktions differentialkvotient.[2] Man kan f.eks. påvise at:

  •  , hvor   er en konstant, har den afledede  
  •  , hvor   er en konstant, har den afledede  
  •   har den afledede  , og heraf
  •   har den afledede  
  • Sinus-funktionen   har differentialkvotienten  
  • Cosinus-funktionen   har differentialkvotienten  
  • Tangens,  , har differentialkvotienten  
  • Den naturlige eksponentialfunktion,  , er pr. definition lig med sin differentialkvotient. Dvs. at konstanten e er defineret til at være det reelle tal som opfylder ligningen  .
  • Eksponentialfunktionen,   hvor   er en konstant, har differentialkvotienten  , hvor   er den naturlige logaritmefunktion
  • Den naturlige logaritme,  , har differentialkvotienten  

Funktioner der er sammensatte funktioner samt funktioner der er summen, differensen, produktet eller kvotienten af to differentiable funktioner er selv differentiable (med visse, åbenlyse begrænsninger i definitionsmængderne). Differentialkvotienterne kan udregnes efter følgende regler:[3]

  •   (kædereglen)[4][5]
  •  
  •  
  •  
  •  

Disse "omregnings-regler"[6] kan alle bevises. Se evt. Matematiske beviser.

Alle differentiable funktioner er kontinuerte, hvorimod kontinuerte funktioner ikke nødvendigvis er differentiable.

Grafer, tangenter og hældningstalRediger

På illustrationen til højre ses øverst grafen for en funktion   (blå kurve): I forskellige punkter langs grafen (grønne pletter) er der indtegnet tangenter[7] til grafen (de røde linjestykker). Hældningstallet for en tangent til grafen for  , tegnet i det punkt der svarer til en bestemt værdi af  , er lig med  .[8]

Den orange kurve nederst på illustrationen er grafen for differentialkvotienten   til funktionen  : Bemærk, at når   er aftagende, er  ' negativ, og de steder hvor   er voksende, er   positiv. De steder hvor tangenterne til grafen for   er vandrette, bliver   lig med nul.

Anvendelse i funktionsanalyseRediger

  Der er for få eller ingen kildehenvisninger i denne artikel, hvilket er et problem. Du kan hjælpe ved at angive troværdige kilder til de påstande, som fremføres i artiklen.

Ved at finde forskriften for den afledede af en reel funktion  ,  , sætte denne lig med nul og løse den ligning der derved fremkommer, kan man finde de værdier af   hvor grafen for   "vender om",[9] dvs. skifter fra at være voksende til at være aftagende eller omvendt.

Dog skal man være opmærksom på at   f.eks. kan være stigende (hhv. faldende) indtil et vist punkt   hvor differentialkvotienten   er lig med nul, for derefter at stige (hhv. falde) igen. Dette kaldes en vandret vendetangent (eller et saddelpunkt)[1] og punktet er dermed ikke et ekstremumspunkt.[4]

Alle de værdier af   hvor   er lig med nul, og som ikke er saddelpunkter, markerer et såkaldt ekstremum; her antager   den højeste eller laveste værdi, enten for hele funktionens definitionsmængde (såkaldt globalt maksimum eller minimum), eller indenfor et vist område omkring det fundne   (lokalt maksimum eller minimum). Dette benyttes ved funktionsanalyse til at bestemme værdimængden for en given funktion.

Den ovenstående beskrivelse af en funktionsanalyse mht. ekstremumspunkter kaldes også at finde funktionens monotoniforhold. Til analysen kan tegnes en tilhørende monotonilinje, hvor funktionsværdien angives sammen med  's værdi. Ved at se på  's værdier afgøres herved om funktionen er voksende, aftagende eller konstant.

Relation til integralregningRediger

Differentiering er den omvendte operation af integration: Funktionen   siges at være en stamfunktion til funktionen  , hvis differentialkvotienten af   er  , dvs.:  .

Vender man tilbage til skatteeksemplet i begyndelsen af artiklen, kunne man, hvis man kendte sin marginalindkomst for enhver given indtægt, beregne sin nettoindkomst ved at lægge marginalindkomsterne for hver tjent krone sammen. Dette er netop kernen i integration. Se også Infinitesimalregningens hovedsætning.

Partielle aflededeRediger

Differentialkvotienten beskrevet ovenfor kan generaliseres til det tilfælde hvor en funktion har flere uafhængige variable, f.eks.  . Her definerer man de partielle afledede på samme måde som ovenfor, blot betragter man de andre uafhængige variable som konstanter under differentieringen. For at vise at man har brugt denne fremgangsmåde erstattes det infinitesimale   med  :

 

TretrinsreglenRediger

Tretrinsreglen er en metode til at beregne en differentialkvotient[10] ved

1) at opskrive en differenskvotient[11]

2) omdanne differenskvotienten til en differentialkvotient

3) lade differentialkvotientens nævner gå mod nul.[1]

Det approksimerende førstegradspolynomiumRediger

Det approksimerende førstegradspolynomium er betegnelsen for en matematisk formel, som i én arbejdsgang[3] beregner hele forskriften for en tangent til en funktions graf.[12]

Computer Algebra System (CAS)Rediger

Lommeregnere og matematisk software med CAS kan beregne differentialkvotient:

  • Texas Instruments grafregnere[13] TI-92 og TI-89 beregner differentialkvotient med kommandoen: d( , var)
  • maplesoft[14] Maple beregner differentialkvotient med kommandoen: diff(f( ), )
  • Softwaren[15] Xcas beregner differentialkvotient med kommandoen: diff(funktion, )

Se ogsåRediger

BøgerRediger

  • Holth, Klaus m.fl. (1987): Matematik Grundbog 1. Vejle, Forlaget Trip. ISBN 87-88049-18-3
  • Jensen, Steffen og Sørensen, Karin (1989): Differentialregning: En lærebog for matematisk gymnasium. Teori og redskab, 3. København, Christian Ejlers Forlag. ISBN 87-7241-557-6
  • Jessen, Claus m.fl. (1995): Differentialregning: gymnasiematematik, obligatorisk niveau. Matematik - tanke, sprog og redskab. København, Gyldendal Undervisning. ISBN 87-00-19936-2

ReferencerRediger

  1. ^ a b c http://intranet.sctknud-gym.dk/lrere/HS/Noter/Differentialregning_Nspire.pdf
  2. ^ differentialregning | lex.dk – Den Store Danske
  3. ^ a b "Arkiveret kopi" (PDF). Arkiveret fra originalen (PDF) 29. september 2020. Hentet 21. maj 2020.
  4. ^ a b http://olewitthansen.dk/Matematik/Differentialregning.pdf
  5. ^ http://www.imm.dtu.dk/~jerf/02609/Slides/Uge02_differentialregning.pdf
  6. ^ https://www.matematikfysik.dk/mat/noter_tillaeg/oversigt_differentialregning_integralregning.pdf
  7. ^ http://www.kennethhansen.net/MatMyst/5-Differentialregning.pdf
  8. ^ "Arkiveret kopi" (PDF). Arkiveret fra originalen (PDF) 29. juni 2020. Hentet 27. juni 2020.
  9. ^ differentialregning | lex.dk – Den Store Danske
  10. ^ http://www.mat1.dk/diffregn3del-101.pdf
  11. ^ https://mimimi.dk/MATAA/DifI.pdf
  12. ^ Holth (1987) s. 163-4
  13. ^ "Arkiveret kopi" (PDF). Arkiveret fra originalen (PDF) 5. november 2019. Hentet 21. maj 2020.
  14. ^ diff or Diff - Maple Programming Help
  15. ^ http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac/cascmd_en.pdf