Determinant

algebraisk begreb

En determinant er et tal, der karakteriserer en matrix. En determinant kan kort beskrives som "arealet" af den flade som vektorerne(søjlerne) udspænder. Her er det vigtigt at holde sig for øje, at det godt kan være et negativt tal. Der findes flere forskellige måder at bestemme determinanter på, og flere forskellige nyttige regneregler for determinanter, som er gennemgået herunder.

Bestemmelse af determinanterRediger

Determinanter er kun definerede for kvadratiske matricer. For en matrix   siger man, at determinanten   er af n'te orden.

Leibniz-formlenRediger

For en matrix   kan determinanten fås af Leibniz-formlen:

 

hvor   angiver en permutation af tallene {1, 2, 3, ..., n},   er mængden af mulige permutationer af disse tal,   er fortegnet for permutationen og   angiver et produkt (på samme måde som   angiver en sum). Specielt fås for n-værdierne 1-3:

n  
1  
2  
3  

Udvikling efter række eller søjleRediger

Determinanten af matricen   kan også udtrykkes vha. n underdeterminanter af (n – 1)'te orden; dette gøres ved at udvikle efter en række eller søjle i   Denne metode er specielt nyttig, hvis en række eller søjle indeholder mange nuller, idet der så ved udvikling efter denne vil bortfalde lige så mange af leddene i den passende formel herunder:

Ved udvikling efter den i'te række fås determinanten af

   
 

Ved udvikling efter den j'te søjle fås determinanten af

   
 

Herover betegner   den (i, j)'te underdeterminant hørende til   dvs. determinanten til den matrix, der fremkommer ved at fjerne den i'te række og den j'te søjle fra   Størrelsen

 

kaldes komplementet til matrixelementet  

Regneregler og særtilfældeRediger

Matrixegenskaber og determinanterRediger

For en enhedsmatrix   gælder

 

For en diagonal- eller trekantmatrix   gælder

 

Hvis en kvadratisk matrix   indeholder en nulrække, da gælder

 

For en kvadratisk matrix   er følgende tre udtryk ækvivalente:

  •   er regulær
  •  
  •  

NB: En matrix behøver ikke være kvadratisk for at kunne være regulær.

Transponering, invertering og multiplikation af matricerRediger

For en kvadratisk matrix   gælder

 

For en regulær kvadratisk matrix   gælder

 

For to matricer   og   gælder

 

Elementaroperationer på matricerRediger

Hvis en matrix   frembringes ved én af disse elementaroperationer på en anden matrix   fås dens determinant af:

  • Ombytning af 2 rækker:
 
  • Multiplikation af 1 række med tal k:
 
  • Rækkeoperation (træk en række fra en anden):
 

BeviserRediger

I dette afsnit vil vi bevise nogle af de overstående påstande, men vi starter med en simpel definition af determinanter:

DefinitionRediger

Lad  . Hvis   defineres  . Hvis   defineres determinanten rekursivt ved

 

hvor   fremkommer af   ved at fjerne i'te række og j'te søjle.

RækkeombytningRediger

Lad   fremkomme af   ved at bytte om på to rækker, da gælder at

 

Dette kan bevises induktivt. Hvis   og   fremkommer ved at bytte om på de to rækker i  , da har vi at

 

Antags eller at resultatet gælder for  , må vi vise at det gælder for  . Hvis vi ikke har byttet om på første række må

 

idet   fremkommer af   ved at bytte om på to rækker, og induktionsantagelsen derfor virker.

Ellers må 1'te og j'te række være ombyttet. Dan   ved at bytte om på 2. og j'te række i  . Dan   ved at bytte om på 2. og j'te række i  , da fremkommer   også ved at bytte om på 1. og 2. række i  , og det må gælde at  , af induktionsantages får vi at   og  

 

 
 
 

Ens rækkerRediger

Hvis   har to ens rækker er  .

Dette er nemt at indse. Dan   ved at bytte om på de to ens række i  , da har vi at   men   og   er jo ens, så  , dette kan kun lade sig gøre hvis  

RækkeadditionRediger

Hvis   er dannet af  , ved at lægge i'te række r gange til j'te række. da vil  

Dette kan bevises som følger. Dan   ved at bytte på 1. og j'te række i  . Dan   ved at bytte om på 1. og j'te række i  , af reglen om række ombytning er det nok at vise at  , idet vi bemærker at   også fremkommver ved at lægge i'te række r gange til 1. række af   bliver det klart at

 

 

Hvor   fremkommer af   ved at restatte 1. med i'te række, men så har   to ens rækker og så har den jo determinant 0.

RækkeskaleringRediger

Hvis   er dannet af  , ved at gange i'te række igennem med r (ikke 0), da er  

Dette kan bevises som følger. Som før kan vi af rækkeombytnings-egenskaben og uden tab af generalitet antage at i=1, så  

InvertibilitetRediger

Matricen A er invertibel hvis og kun hvis  .

Der findes H i RREF , denne transformation fremkommer som en følge af rækkeoperationer af de foregående regler ved vi at   hvor   men   Men   præcis har H har fuld rang, og H har fuld rang præcis når A er invertibel.

Determinant af produktRediger

Om matrixprodukter gælder at  .

Her gælder følgende bevis. Hvis A er diagonal følger det af rækkeskalationsreglen at

 

Hvis A er singulær er AB singulær. Af invertabilitetsreglen følger så, at de begge har determinant 0, ellers må A være invertibel, og med rækkeaditioner og r række ombytninger kan man danne D fra A så D er diagonal. Af de ovenstående regler ses at

 

Lad E være produktet af de tilhørende rækkeoperationsmatricer så  , men så må

 

i kan altså udføre de samme rækkeoprationer på AB, så

 

Determinant af inversRediger

Hvis A er invertibel vil  

Med overstående regel er det nemt at se, da   

Determinant af transponeretRediger

Det gælder altid at  

Hvis A er singulær er   det også og så vil  , ellers kan A opskrives som et produkt af række ombytnings matricer og række additions matricer og en diagonal matice så,

 

Hvis   er en række-ombytnings-matrice, så er   det også. Af række-ombytnings-reglen har de samme determinant nemlig -1. Ellers må   være en række-additions-matrice, og så er   også være det, af række-additions-reglen har de samme determinant nemlig 1, af produktreglen ses at