Kvadratisk matrix

I matematik er kvadratiske matricer helt enkelt matricer, der har det samme antal rækker og søjler, dvs. de er af typen $nxn$. Hvis to matricer er i det samme vektorrum, $\mathbb {R} ^{n}$, vil de altid kunne adderes og multipliceres.

Fig 1: En kvadratisk matrix i vektorrummet $\mathbb {R} ^{4}$. I 4x4-matricen her ovenfor er hoveddiagonalen bestående af a₁₁ = 9, a₂₂ = 11, a₃₃ = 4, a₄₄ = 10.

Hoveddiagonal

Hovedartikel: Hoveddiagonal

Indgangene a_ii (i = 1, ...., n) danner hoveddiagonalen i en kvadratisk matrix. De ligger på en imaginær linje fra øverste venstre hjørne til nederste højre hjørne. For eksempel er hoveddiagonalen i 4×4-matricen i Fig 1 bestående af a₁₁ = 9, a₂₂ = 11, a₃₃ = 4, a₄₄ = 10.

Diagonalen i en kvadratisk matrix fra øverste højre hjørne til nederste venstre hjørne kaldes antidiagonalen.

Specielle typer

Diagonal eller triangulærmatrix

Hvis alle indgange udover dem, som udgør hoveddiagonalen, er nul, kaldes A en diagonalmatrix. Hvis det kun er indgangene over (eller under) hoveddiagonalen er nul, kaldes A en nedre (eller øvre) triangulærmatrix.

Identitetsmatrix

En kvadratisk matrice kaldes en identitetsmatrix, hvis alle indgange i hoveddiagonalen er lig 1, mens resten af indgangene er lig 0, f.eks.:

$I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.$

Det er en kvadratisk matrix i vektorrummet $\mathbb {R} ^{n}$, men det er også en speciel type diagonalmatrice. Den kaldes en identitetsmatrix, fordi multiplikation efterlader matricen uændret.

Symmetriske og skæv-symmetriske matricer

En kvadratisk matrix A, der er lig dens transponerede matrice, dvs. A = A^T, er en symmetrisk matrix. Hvis A i stedet er lig den negative version af dens transponerede, dvs. A = -A^T, så er A skæv-symmetrisk.

Invertible matricer og dens inverse

En kvadratisk matrix A kaldes invertibel eller ikke-singulær, hvis der eksisterer en matrix B, sådan at:

AB = BA = I_n

Hvis B eksisterer, er den unik og den kaldes for den inverse matrix af A, med notation A⁻¹.

Ortogonal matrix

Uddybende artikel: Ortogonal matrix

En reel ortogonal matrix (eller en reel ortogonalmatrix) en kvadratisk matrix Q hvis transponerede er dens inverse:

$Q^{T}Q=QQ^{T}=I\,\!.$

Operationer

Spor

Uddybende artikel: Spor (algebra)

Ved sporet af en kvadratisk $n\times n$ matrix $A$ forstås summen af dens diagonale elementer,

$\mathrm {tr} (A)=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}\,.$

Notationen er afledt af det engelske ord «trace», som betyder «spor».

Determinant

Uddybende artikel: Determinant

Determinanten det(A) eller |A| af en kvadratisk matrix er et tal, der viser visse egenskaber for matricen. En matrix er invertibel, hvis og kun hvis, determinenten er forskellig fra nul. Dens numeriske værdi er lig med arealet (i R²) og volumen (i R³).

Determinanten af en 2×2-matrice er givet ved:

$det{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc$