Åbn hovedmenuen

Fouriertransformation

(Omdirigeret fra Fourier-transformation)

Fouriertransformation også kaldet Fourierafbildning er en matematisk funktion der bruges inden for blandt andet signalbehandling. En Fouriertransformation benyttes til at omregne mellem et tidsdomæne (tidssignal) til et frekvensdomæne (superposition af frekvenser).

For eksempel kan man med Fouriertransformation "måle" hvilke rene toner, der indgår i en digital indspilning af en stump musik. Man kan betragte en Fouriertransformation som en måde at nedbryde en funktion, så alle dens frekvenskomponenter bliver adskilt i et frekvensspektrum. Omvendt vil en invers-Fouriertransformation af et spektrum ideelt set resultere i funktionen selv. Man kan sammenligne det med at tage en akkord (funktionen) og adskille den i de enkelte toner (frekvenser), som den indeholder.

Fouriertransformationen er en uendelig linearkombination af sinus og cosinus funktioner, omskrevet til komplekse funktioner. Den er opkaldt efter den franske matematiker Joseph Fourier. Fourierrækker er et nært beslægtet område.

Matematikken bag FouriertransformationenRediger

Fouriertransformation af et kontinuert-tidssignal   er givet ved følgende integral:

 .

Her er   vinkelfrekvensen,   er grundtallet for den naturlige logaritme og   er den imaginære enhed. Denne operation betegnes også som Fourieranalyse. Tilsvarende kan den inverse Fouriertransformation defineres som:

 

Den inverse operation betegnes også som Fouriersyntese. I mange sammenhænge er   en reel funktion, mens   ofte bliver til en kompleks funktion.

Bruger man den cykliske frekvens   i stedet for vinkelfrekvensen   får man Fourierintegralerne til at blive:

 
 

Med Eulers formel kan man omskrive Fourierintegralerne så de bliver udtrykt med sinus og cosinus funktionerne:

 

Alternative definitionerRediger

Fouriertransformationen og dens inverse transformation kan også defineres på andre måder:

 .
 

Her skal det gælde at  . Indenfor visse områder bruger man følgende normalisering:  .

Diskret FouriertransformationRediger

Hvis tiden   og (vinkel)frekvensen   bliver diskretiseret og er endelige taler man om diskret Fouriertransformation (DFT). DFT udføres sædvanligvis med en hurtig algoritme kaldet FFT efter engelsk fast Fourier transform. Den diskrete Fouriertransformation kan defineres som:

 

Den tilsvarende inverse diskrete Fouriertransformation defineres da som

 

Tabel over vigtige FouriertransformationerRediger

De følgende tabeller viser nogle closed-form Fouriertransformationer. For funktioner f(x), g(x) og h(x) vises deres Fouriertransformationer ved henholdsvis  ,   og  . Kun de tre mest almindelige Fouriertransformationskonventioner er inkluderet.

Det kan være nyttigt at bemærke at 105 giver en sammenhæng mellem en Fouriertransformation af en funktion og den oprindelige funktion, hvilket kan ses ved sammenhængen mellem Fouriertransformation og dens inverse.

Funktionelle sammenhængeRediger

Fouriertransformationer i denne tabel kan findes i Erdélyi1954[1] eller Kammler2000[2].

Funktion Fouriertransformation
unitær, ordinær frekvens
Fouriertransformation
unitær, angulær frekvens
Fouriertransformation
ikke-unitær, angulær frekvens
Bemærkninger
   

 

 

 

 

 

Definition
101         Linaritet
102         Parallelforskydning i tidsdomænet
103         Parallelforskydning i frekvensdomænet, duale af 102
104         Skalering i tidsdomænet. Hvis   er stor, så er   koncentreret omkring 0 og   spredes ud - og trykkes mod ordinataksen.
105         Dualitet.
106        
107         Dette er den duale af 106
108        
109         Dette er den duale af 108
110 For   rent reelle funktioner       Hermitisk symmetri.
111 For   med rent reelle lige funktioner  ,   og   er rent reelle lige funktioner.
112 For   med rent reelle ulige funktioner  ,   og   er rene imaginære ulige funktioner.
113         Kompleks konjugation, generalisering af 110
114        
115        

Kvadratisk-integrable funktionerRediger

Fouriertransformationer i denne tabel kan findes i CampbellFoster1948[3], Erdélyi1954[1] eller appendiks af Kammler2000[2].

Funktion Fouriertransformation
unitær, ordinær frekvens
Fouriertransformation
unitær, angulær frekvens
Fouriertransformation
ikke-unitær, angulær frekvens
Bemærkninger
   

 

 

 

 

 

201        
202         Duale af regel 201.
203        
204         Duale af regel 203.
205        
206        
207        
208        
209    

   

 

   

 

   

FordelingerRediger

Fouriertransformationer i denne tabel kan findes i Erdélyi1954[1] eller appendiks i Kammler2000[2].

Funktion Fouriertransformation
unitær, ordinær frekvens
Fouriertransformation
unitær, angulær frekvens
Fouriertransformation
ikke-unitær, angulær frekvens
Bemærkninger
   

 

 

 

 

 

301         Fordelingen δ(ξ) henviser til Diracs deltafunktion.
302         Duale af regel 301.
303         Dette følger af 103 og 301.
304        
305        
306        
307        
308        
309        
310  

 

     
311        
        Specielt tilfælde af 311.
312         Den duale af regel 309.
313        
314        
315        
316         Dette er en generalisering af 315.
317           er Euler–Mascheroni konstant.
318        

To-dimensionelle funktionerRediger

Funktion Fouriertransformation
unitær, ordinær frekvens
Fouriertransformation
unitær, angulær frekvens
Fouriertransformation
ikke-unitær, angulær frekvens
400    

 

 

 

 

 

401        
402        

Formler for generelle n-dimensionelle funktionerRediger

Funktion Fouriertransformation
unitær, ordinær frekvens
Fouriertransformation
unitær, angulær frekvens
Fouriertransformation
ikke-unitær, angulær frekvens
500    

 

 

 

 

 

501    
 
 
 
 
 
502        
503    
504    


Kilder/referencerRediger

  1. ^ a b c Erdélyi, Arthur, ed. (1954), Tables of Integral Transforms 1, New Your: McGraw-Hill
  2. ^ a b c [Kammler, David (2000), A First Course in Fourier Analysis, Prentice Hall, ISBN 0-13-578782-3]
  3. ^ Campbell, George; Foster, Ronald (1948), Fourier Integrals for Practical Applications, New York: D. Van Nostrand Company, Inc..

Se ogsåRediger

HenvisningRediger