Hyperbolske funktioner

Hyperbolske funktioner er matematiske funktioner af en variabel. De er analoge til de mere kendte trigonometriske funktioner som er forbundet med en cirkels egenskaber. På samme måde er de hyperbolske funktioner forbundet med en en hyperbels egenskaber. De vigtigste hyperbolske funktioner er sinh (hyperbolsk sinus), cosh (hyberbolsk cosinus) og tanh (hyperbolsk tangens).

En ret linje gennem origo skærer hyperbelen i et punkt som giver de to hyperbolske funktioner cosha og sinha hvor a/2 er det røde arael.

De blev først studeret af den schweiziske matematiker Leonhard Euler før år 1750. Men deres geometriske indhold og matematiske betydning blev klarlagt omkring ti år senere af den italienske matematiker Vincenzo Riccati og hans samtidige Johann Heinrich Lambert. Den sidstnævnte har også givet funktionerne de navne som stadig bruges i dag. Han kom frem til dem i forbindelse med sine undersøgelser af det som i dag kaldes hyperbolsk geometri.

De trigonometriske funktioner sin og cos kan benyttes til at parametrisere en cirkel. I et kartesisk koordinatsystem er enhedscirklen med centrum i origo og radius 1 beskrevet ved ligningen x² + y² = 1. Ved at skrive x = cosα og y = sinα hvor vinkelen α  angiver et punkt på cirkelen målt fra x - aksen, følger den fundamentale sammenhæng cos²α + sin²α = 1.

I samme koordinatsystem er enhedshyperblen beskrevet ved ligningen x² - y² = 1. De to vigtigste hyperbolske funktioner kan nu defineres ved parametriseringen x = cosha og y = sinha hvor den variable a kaldes den hyperbolske vinkel. Den kan identificeres med arealet som er begrænset af hyperbelen vist i figuren. Indsat vil disse to funktioner derfor opfylde den fundamentale ligning cosh²a - sinh²a = 1. I modsætning til de trigonometriske funktioner, kan disse to hyperbolske funktioner derfor antage vilkårligt store værdier. Den tredje hyperbolske funktion er defineret som tanha = sinha/cosha og antager værdier som altid ligger mellem ±1. Ligesådan kan man definere cotha = 1/tanha som kan antage vilkårlige værdier.

Definitioner

Hyperbolsk cosinus (blå), hyperbolsk sinus (rød) og hyperbolsk tangens (grøn).

Funktionernes geometriske indhold som følger fra egenskaber ved hyperbelen, kan videre benyttes til at vise at de kan eksplicit udtrykkes ved den naturlige eksponentialfunktion. Kaldes argumentet nu for x, finder man at

• Hyperbolsk cosinus:

$\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}$

• Hyperbolsk sinus:

$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}$

• Hyperbolsk tangens:

$\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}$

Dette kan også bruges som definitionerne af disse tre funktioner. Endvidere definerer man sædvanligvis også følgende funktioner

• Hyperbolsk cotangens:

$\coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}$

• Hyperbolsk secans:

$\operatorname {sech} \,x=\left(\cosh x\right)^{-1}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}$

• Hyperbolsk cosecans:

$\operatorname {csch} \,x=\left(\sinh x\right)^{-1}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}$

Algebraiske identiteter

Fra definitionene kan man nu let verificere at den fundamentale identitet

$\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1\,$

er opfyldt. Endvidere følger additionssætningerne

$\sinh {(x+y)}=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y$

$\cosh {(x+y)}=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y$

De er analoge til relationene for de tilsvarende trigonometriske funktioner med summen af to vinkler som argument. Sætter man her x = y, følger det fra den første identitet at

$\sinh 2x=2\sinh x\cosh x,$

mens fra den sidste følger det at

$\cosh 2x=\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=2\cosh ^{2}x-1=2\sinh ^{2}x+1$

Derfor har man også at

$\cosh ^{2}x={1 \over 2}{\Big (}\cosh 2x+1{\Big )}$

$\sinh ^{2}x={1 \over 2}{\Big (}\cosh 2x-1{\Big )}$

På samme måde gælder

$\tanh {(x+y)}={\tanh x+\tanh y \over 1+\tanh x\tanh y}$

således at

$\tanh 2x={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}\!x}}$

Heraf følger de tilsvarende relationer

$\sinh 2x={\frac {2\tanh x}{1-\tanh ^{2}\!x}},\;\;\;\cosh 2x={\frac {1+\tanh ^{2}x}{1-\tanh ^{2}\!x}}$

Afledte

Da den afledte af eksponentialfunktionen tilfredsstiller

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}e^{x}=e^{x},$

er de afledte funktioner af de hyperbolske funktioner ganske enkelt givet ved

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\sinh }x={\cosh }x,\;\;\;{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\rm {cosh}}x={\sinh }x.$

Det kan så benyttes til at vise at

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\tanh }x=1-{\tanh }^{2}x=+{1 \over \cosh ^{2}x}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\coth }x=1-{\coth }^{2}x=-{1 \over \sinh ^{2}x}$

Taylor-udviklinger

Fra Taylor-rækken til eksponentialfunktionen følger direkte at

$\sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

og viser tydelig at det er en ulige funktion, nemlig sinh(-x) = -sinhx. På samme måde er

$\cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}$

i overensstemmelse med at den er en lige funktion, nemlig cosh(-x) = cosh(x). Taylor-rækkerne til tangens-funktionerne bliver dermed

$\tanh x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

$\coth x=x^{-1}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots =x^{-1}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi$

hvor B_n  er n-te det Bernoulli-tal.

Inverse hyperbolske funktioner

Plot af invers hyperbolsk funktion $\operatorname {arsinh} (x)$.

Plot af invers hyperbolsk funktion $\operatorname {arcosh} (x)$.

Plot af invers hyperbolsk funktion $\operatorname {artanh} (x)$.

Da argumentet til de hyperbolske funktioner har angiver et areal, kaldes de inverse funktioner ofte for area-funktioner. For eksempel benævnes den inverse funktionen til sinh derfor arsinh ("area sinus hyperbolsk"), og den inverse til cosh er arcosh("area cosinus hyperbolsk"). De skal alle opfylde de basale krav til inverse funktioner, for eksempel

$\operatorname {arsinh} (\sinh x)=x$

Man kan finde et eksplicit funktionsudtryk for $\operatorname {arsinh}$ ved først at skifte variabelnavn og dernest benytte substitutionen $x=\sinh(u)$ eller $u=\operatorname {arsinh} (x)$:

$\operatorname {arsinh} (\sinh(u))=u\quad \Leftrightarrow \quad x=\sinh(u)$

Ved at bruge definitionen af hyperbolsk sinus, fås

$\exp(u)-\exp(-u)=2\cdot \sinh(u)=2\cdot x$

Ved multiplikation med $\exp(u)$ fås

$\exp(u)^{2}-2\cdot x\cdot \exp(u)-1=0$

som er en andengradsligning i størrelsen $\exp(u)$. Formelt er ligningens løsninger

$\exp(u)={\frac {2\cdot x\pm {\sqrt {4\cdot x^{2}+4}}}{2}}=x\pm {\sqrt {x^{2}+1}}$

Men da $\exp(u)$ er positiv, er der kun én løsning, nemlig

$\operatorname {arsinh} (x)=u=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})$

For de andre funktioner finder man tilsvarende at

$\operatorname {arcosh} (x)=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}}),\quad x\geqq 1$

$\operatorname {artanh} (x)={\tfrac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right),\quad \left|x\right|<1$

$\operatorname {arcoth} (x)={\tfrac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right),\quad \left|x\right|>1$

Afledte

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\operatorname {arsinh} (x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}$

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\operatorname {arcosh} (x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\operatorname {artanh} (x)={\frac {1}{1-x^{2}}}$

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\operatorname {arcoth} (x)={\frac {1}{1-x^{2}}}$

Taylor-udviklinger

${\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=x-\left({\frac {1}{2}}\right)\cdot {\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)\cdot {\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)\cdot {\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}\cdot (2n)!}{2^{2n}\cdot (n!)^{2}}}\right)\cdot {\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arcosh} (x)&=\ln(2\cdot x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)\cdot {\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)\cdot {\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln(2\cdot x)-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}\cdot (n!)^{2}}}\right)\cdot {\frac {x^{-2n}}{(2n)}},\qquad x>1\end{aligned}}$

$\operatorname {artanh} (x)=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|<1$

og hvorfra man også har $\operatorname {arcoth} (x)=\operatorname {artanh} (1/x)$.

integraler

Fra de afledte funktioner af de hyperbolske funkstionene følger direkte integralerne

$\int \sinh ax\,dx={1 \over a}\cosh ax+C$

$\int \cosh ax\,dx={1 \over a}\sinh ax+C$

$\int \tanh ax\,dx={1 \over a}\ln(\cosh ax)+C$

$\int \coth ax\,dx={1 \over a}\ln(\sinh ax)+C$

hvor C  er en integrationskonstant. Andre integraler kan udtrykkes ved de inverse funktioner. For eksempel i integraler som involverer √(x² + a²) kan man sætte x = a sinhu sådan at kvadratroden √(x² + a²) = coshu. Sammen med dx = a coshu du giver det for eksempel integralet

$\int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}=\operatorname {arsinh} {\frac {x}{a}}+C$

Samme metode med x = a coshu giver ligeledes

$\int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}=\operatorname {arcosh} {\frac {x}{a}}+C,$

mens substitutionen x = a tanhu gør det muligt at finde integralet

$\int {\frac {dx}{a^{2}-x^{2}}}={1 \over a}\operatorname {artanh} {\frac {x}{a}}+C$

når |x| < |a|. Hvis ikke, er svaret givet ved arcoth(x/a). Mere komplicerede integraler kan findes med de substitutioner analogt med tilsvarende integraler som kan udtrykkes ved trigonometriske funktioner.

Litteratur

• M. Abramowitz and I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover Books, New York (1964). ISBN 0-486-61272-4.

Eksterne henvisninger

• J. H. Barnett, The Early Drama of Hyperbolic Functions, Mathematics Magazine, 77, no. 1, 15 - 30 (2004).
• Herman, Edwin “Jed” & Strang, Gilbert (2016): Calculus : Volume 1 : OpenStax, Rice University, Houston, Texas, USA. ISBN 1-947172-13-1 (online) URL: https://d3bxy9euw4e147.cloudfront.net/oscms-prodcms/media/documents/CalculusVolume1-OP_D5aX5TF.pdf