Kvadratisk matrix
I matematik er kvadratiske matricer helt enkelt matricer, der har det samme antal rækker og søjler, dvs. de er af typen . Hvis to matricer er i det samme vektorrum, , vil de altid kunne adderes og multipliceres.
Hoveddiagonal
redigér- Hovedartikel: Hoveddiagonal
Indgangene aii (i = 1, ...., n) danner hoveddiagonalen i en kvadratisk matrix. De ligger på en imaginær linje fra øverste venstre hjørne til nederste højre hjørne. For eksempel er hoveddiagonalen i 4×4-matricen i Fig 1 bestående af a11 = 9, a22 = 11, a33 = 4, a44 = 10.
Diagonalen i en kvadratisk matrix fra øverste højre hjørne til nederste venstre hjørne kaldes antidiagonalen.
Specielle typer
redigérDiagonal eller triangulærmatrix
redigérHvis alle indgange udover dem, som udgør hoveddiagonalen, er nul, kaldes A en diagonalmatrix. Hvis det kun er indgangene over (eller under) hoveddiagonalen er nul, kaldes A en nedre (eller øvre) triangulærmatrix.
Identitetsmatrix
redigérEn kvadratisk matrice kaldes en identitetsmatrix, hvis alle indgange i hoveddiagonalen er lig 1, mens resten af indgangene er lig 0, f.eks.:
Det er en kvadratisk matrix i vektorrummet , men det er også en speciel type diagonalmatrice. Den kaldes en identitetsmatrix, fordi multiplikation efterlader matricen uændret.
Symmetriske og skæv-symmetriske matricer
redigérEn kvadratisk matrix A, der er lig dens transponerede matrice, dvs. A = AT, er en symmetrisk matrix. Hvis A i stedet er lig den negative version af dens transponerede, dvs. A = -AT, så er A skæv-symmetrisk.
Invertible matricer og dens inverse
redigérEn kvadratisk matrix A kaldes invertibel eller ikke-singulær, hvis der eksisterer en matrix B, sådan at:
AB = BA = In
Hvis B eksisterer, er den unik og den kaldes for den inverse matrix af A, med notation A−1.
Ortogonal matrix
redigérEn reel ortogonal matrix (eller en reel ortogonalmatrix) en kvadratisk matrix Q hvis transponerede er dens inverse:
Operationer
redigérSpor
redigérVed sporet af en kvadratisk matrix forstås summen af dens diagonale elementer[1],
Notationen er afledt af det engelske ord «trace», som betyder «spor».
Determinant
redigérDeterminanten det(A) eller |A| af en kvadratisk matrix er et tal, der viser visse egenskaber for matricen. En matrix er invertibel, hvis og kun hvis, determinenten er forskellig fra nul. Dens numeriske værdi er lig med arealet (i R2) og volumen (i R3).
Determinanten af en 2×2-matrice er givet ved:
Referencer
redigér- ^ Weisstein, Eric W. "Matrix Trace". MathWorld -- a Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc.