Nilpotent matrix

I matematikken og i særdeleshed i lineær algebra er en nilpotent matrix en n×n kvadratisk matrix M, hvor

$M^{q}=0$

for et naturligt tal q, hvor 0 betegner nulmatricen. På samme måde er en nilpotent transformation en lineær transformation L med $L^{q}=0$ for et naturligt tal q.

Der er specielle tilfælde af et mere generelt nilpotensbegreb, der ikke kun gælder for matricer og lineære transformationer men for alle elementer i ringe.

Eksempler

Betragt matricen

${\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.$

Den er et eksempel på en 4×4 nilpotent matrix. Bemærk ikke-nul-indgangene i superdiagonalen. Den karakteristiske egenskab ved denne matrix fremstår af potensopløftningen, idet

$N^{2}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ N^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ N^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.$

Superdiagonalen 'rykker en tak op', indtil man til sidst opnår nulmatricen.

Den tilhørende nilpotente transformation L : R⁴ → R⁴ er defineret ved:

$L(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(x_{2},x_{3},x_{4},0).\,$

Egenskaber

Lad M være en n×n nilpotent matrix.

• Det mindste heltal q, der opfylder, at M^q = 0 er mindre end eller lig med n.
• Egenværdierne af M er alle nul. Faktisk gælder, at en matrix er nilpotent, hvis og kun hvis dens egenværdier er nul.
• Det karakteristiske polynomium af M er λⁿ.
• Determinanten og sporet af M er begge nul.
• Enhver streng øvre trekantsmatrix og streng nedre trekantsmatrix er nilpotent.

Klassifikationssætning

Ovenstående eksempel er typisk, som det følgende resultat viser. Enhver nilpotent er kongruent til en blokdiagonalmatrix

${\begin{bmatrix}N_{1}&0&0&\ldots &0\\0&N_{2}&0&\ldots &0\\0&0&N_{3}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &N_{k}\end{bmatrix}},$

hvor blokkene $N_{i}$ har ettaller på superdiagonalen og nultaller alle andre steder:

$N_{i}={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0&0\\0&0&1&\ldots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1&0\\0&0&0&\ldots &0&1\\0&0&0&\ldots &0&0\end{bmatrix}}.$