Poisson-Boltzmann-ligningen

I plasmaer og elektrolytter beskriver Poisson-Boltzmann-ligningen, hvordan det elektriske felt spreder sig pga. elektrisk skærmning; dvs. når ladninger udligner hinanden. Den lineariserede version kaldes for Debye-Hückel-ligningen.

Poisson-Boltzmann-ligningen beskriver interagerende ladningsbærere i form af ioner og evt. elektroner. Et hverdagseksempel er køkkensalt opløst i vand.

Ligningen er opkaldt efter Siméon Denis Poisson og Ludwig Boltzmann, men modellen blev oprindeligt formuleret uafhængigt af Louis Georges Gouy og David Leonard Chapman i henholdsvis 1910 og 1913.[1]

UdledningRediger

Det elektriske felt   fra en ladningsdensitetet   er generelt givet ved Gauss' lov:

 

Det elektriske potential  , dvs. potentiel energi pr. ladning, er relateret til det elektriske felt ved

 

og derfor er det relateret til ladningsdensiteten ved en Poisson-ligning:

 

Plasma og elektrolytter består af mobile ladninger i form af ioner og elektroner. Densiteten   af hver af disse giver samlet ladningsdensiteten:

 

Indsættes udtrykket for ladningsdensiteten i relationen for det elektriske potential, ses det, at

 

Interaktionsenergien   mellem en ladningsbærer og det elektriske felt er givet ved:

 

Densiteten kan dermed findes vha. Boltzmann-fordelingen:

 

hvor   er densiteten, hvis potentialet er nul. Det antages her, at hele systemet har opnået termodynamisk ligevægt og dermed har samme temperatur   overalt. Dermed bliver ligningen for  :

 

Hvis der er eksterne ladninger   kan de lægges til:

 

Dette er Poisson-Boltzmann-ligningen. Ud fra denne differentialligning kan   findes, skønt det ofte er nødvendigt at finde en numerisk løsning.

Alternativt kan den lineariseres, hvilket giver Debye-Hückel-ligningen.[2]

KildehenvisningerRediger

  1. ^ Fogolari, F.; Brigo, A.; Molinari, H. (2002). "The Poisson–Boltzmann Equation for Biomolecular Electrostatics: a Tool for Structural Biology". J. Mol. Recognit. 15 (6): 379-385. doi:10.1002/jmr.577. PMID 12501158.
  2. ^ Kardar, Mehran (2013), Lecture Notes (PDF) (engelsk), Massachusetts Institute of Technology, s. 33-35, hentet 18. januar 2020