Relativistisk gas

(Omdirigeret fra Relativistiske gasser)

En relativistisk gas er en gas, hvor de enkelte gaspartikler bevæger sig tæt på lysets hastighed, og hvor de relativistiske effekter derfor ikke kan ignoreres. For en klassisk mekanisk gas såsom idealgassen er en partikels energi givet ved den kinetiske energi:

hvor er massen, og er impulsen. I den specielle relativitetsteori er det dog kun en tilnærmelse for små hastigheder, og det mere generelle udtryk for energi er i stedet:

hvor er lysets fart. Det ses, at partiklen har energi, selvom impulsen er nul. Dette er hvileenergien.[1]

Ultrarelativistisk gas

redigér

I den ultrarelativistisk grænse, hvor impulsen er meget stor

 

er energien tilnærmelsesvist proportional med impulsen:

 

Fra kvantemekanikken vides det, at impulsen er proportional med bølgetallet  , hvor proportionalitetskonstanten er Plancks reducerede konstant  :

 

Tilstandstætheden   afhænger også af  :

 

hvor   er gassen volumen. Dermed bliver tilstandssummen   for en enkelt gaspartikel

 

hvor eksponential-funktionen er Boltzmann-fordelingen, og   er én over Boltzmanns konstant   gange temperaturen  :

 

Tilstandssummen kan evalueres ved at substituere den variable med  :

 

Integralet kan altså skrives som:

 

Selve integralet er blot lig med gammafunktionen, der her er lig med fakultetet af 2, der igen blot er lig med 2:[2]

 

Ved at indsætte udtrykket for   ses det, at:

 

Det ses, at tilstandssummen er proportional med temperaturen opløftet i tredje potens.[1]

Kildehenvisninger

redigér
  1. ^ a b Blundell, Stephen J.; Blundell, Katherine M. (2006). "25 Relativistic gases". Concepts in Thermal Physics (engelsk) (1. udgave). Oxford University Press. s. 274-275. ISBN 978-0-19-856770-7.
  2. ^ Blundell, Stephen J.; Blundell, Katherine M. (2006). "C.1 The factorial integral". Concepts in Thermal Physics (engelsk) (1. udgave). Oxford University Press. s. 436. ISBN 978-0-19-856770-7.