Unitær matrix

I lineær algebra er en unitær matrix en n gange n kompleks matrix U, der opfylder

$U^{*}U=UU^{*}=I_{n},$

hvor $I_{n}$ er identitetsmatricen og $U^{*}$ er den Hermitisk adjungerede (også kaldet den konjugerede transponerede) af U. Kravet siger, at en matrix U er unitær, hvis den har en invers, der er lig med den Hermitisk adjungerede $U^{*}$.

En unitær matrix i hvilken alle indgange er reelle er det samme som en ortogonalmatrix. Præcis som en ortogonalmatrix G bevarer det (reelle) indre produkt af to reelle vektorer,

$\langle Gx,Gy\rangle =\langle x,y\rangle ,$

opfylder en unitær matrix U, at

$\langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle$

for alle komplekse vektorer x og y, hvor <.,.> nu er det Euklidiske indre produkt på $\mathbb {C} ^{n}$. Hvis $A$ er en n gange n-matrix er følgende udsagn ækvivalente:

1. $A$ er unitær.
2. $A^{*}$ er unitær.
3. Søjlerne i $A$ danner en ortonomalbasis for $\mathbb {C} ^{n}$ med hensyn til det Euklidiske indre produkt.
4. $A$ er en isometri med hensyn til normen fra dette indre produkt.

Det følger af isometriegenskaben, at alle egenværdier af en unitær matrix er komplekse tal med absolut værdi 1 (de ligger på enhedscirklen med centrum 0 i det komplekse plan.) Det samme gælder determinanten.

Alle unitære matricer er normale, og spektralsætningen gælder derfor for dem. Det vil sige, at enhver unitær matrix U kan skrives på formen

$U=V\Sigma V^{*}$,

hvor $V$ er unitær og $\Sigma$ er unitær og en diagonalmatrix.

For ethvert n, danner mængden af alle n gange n unitære matricer med matrixmultiplikation en gruppe.