Kommutativitet

Icon apps query.svgHvad handler artiklen om?
Denne artikels indledning bør kort forklare, hvad artiklen handler om, jf. stilmanualen. Husk at skrive det indlysende.
Broom icon.svgDer er ingen kildehenvisninger i denne artikel, hvilket er et problem.
Du kan hjælpe ved at angive kilder til de påstande, der fremføres. Hvis ikke der tilføjes kilder, vil artiklen muligvis blive slettet.
Question book-4.svg
Searchtool.svg Denne artikel bør gennemlæses af en person med fagkendskab for at sikre den faglige korrekthed.

Kommutativitet er et matematisk begreb. En operation (evt. en funktion af to variable) er kommutativ, hvis rækkefølgen af operationens operander er uden betydning for resultatet.

En funktion er kommutativ, hvis, og kun hvis, for et hvert og . Billedet illustrerer dette med en "regnemaskine". Det er uden betydning for "regnemaskinens" udkomme eller respektivt hvilken orden argumenterne og har – det endelige resultat er det samme.

Binære operationerRediger

Eftersom en binær operation løst set er en funktion  , der fører to elementer fra den ene mængde tilbage til den samme mængde,  . Og eftersom en binær operation har to in-put, giver det spørgsmål, hvorvidt placeringen af en binær operations to in-put er uden betydning for resultatet af udregningen, mening. Derfor kan muligheden for kommutativitet godt gælde for binære operationer.

En binær operation   over en mængde   kaldes kommutativ, hvis der for hvert set af to elementer gælder, at det ene element og det andet element opereret med hinanden giver det samme resultat uafhængigt af, i hvilken rækkefølge udregningen af resultatet beregnes. Der vil være 2 = 2! rækkefølger.

 

 

det vil sige, hvis alle elementer i   er ombyttelige.

For eksempel er addition over de naturlige tal, (eller over de hele tal, eller over de rationale tal, eller over de reelle tal, eller over de komplekse tal), kommutativ; og eksempelvis er multiplikation over de naturlige tal, (eller over de hele tal, eller over de rationale tal, eller over de reelle tal, eller over de komplekse tal), også kommutativ:

5 + 3 = 8 = 3 + 5
5 * 3 = 15 = 3 * 5

For eksempel er subtraktion over de naturlige tal, (eller over de hele tal, eller over de rationale tal, eller over de reelle tal, eller over de komplekse tal), ikke kommutativ; og eksempelvis er division over de naturlige tal, (eller over de hele tal, eller over de rationale tal, eller over de reelle tal, eller over de komplekse tal), heller ikke kommutativ.

8-4 = 4 ≠ -4 = 4-8
8÷4 = 2 ≠ 0,5 = 4÷8

Imidlertid er multiplikation over et matrix-rum ikke kommutativ.

 

hvorimod

 


Binære funktionerRediger

En binær funktion løst set er en funktion  , der fører ét element fra den ene mængde og et andet element fra den anden mængde over til den tredje mængde,  . Og eftersom en binær funktion har to in-put, giver det spørgsmål, hvorvidt placeringen af en binær funktions to in-put er uden betydning for resultatet af udregningen, mening. Dersom tilfældet    overvejes, altså  , kan kommutativitet ikke gælde, eftersom elementerne fra in-put tilhører hver deres mængde. Dersom tilfældet   =   =   overvejes, altså  , kan kommutativitet muligvis gælde, eftersom elementerne fra in-put tilhører den samme mængde.

Se ogsåRediger

 Stub
Denne artikel om matematik er kun påbegyndt. Hvis du ved mere om emnet, kan du hjælpe Wikipedia ved at udvide den.