Ved kvadratsætningerne forstår man tre ligninger, som viser sig nyttige ved mange elementære omskrivninger inden for matematisk algebra
[1]
[2]
[3]
[4] .
Produkt af to flerleddede størrelser
redigér
Sætningerne følger elementært af den generelle regel for udregning af produktet af to flerleddede størrelser:
”Hvert led i den ene faktor ganges med hvert led i den anden faktor”.
For eksempel er
(
a
+
b
)
⋅
(
c
+
d
+
e
)
=
a
⋅
c
+
a
⋅
d
+
a
⋅
e
+
b
⋅
c
+
b
⋅
d
+
b
⋅
e
{\displaystyle (a+b)\cdot (c+d+e)=a\cdot c+a\cdot d+a\cdot e+b\cdot c+b\cdot d+b\cdot e}
Reglen kan bruges til f.eks. at bevise den tredje kvadratsætning:
(
a
+
b
)
⋅
(
a
−
b
)
=
a
⋅
a
−
a
⋅
b
+
b
⋅
a
−
b
⋅
b
=
a
2
−
b
2
{\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b=a^{2}-b^{2}}
I det tilfælde, at
a
>
b
>
0
{\displaystyle a>b>0}
, altså hvor
a
{\displaystyle a}
og
b
{\displaystyle b}
er positive og
a
{\displaystyle a}
er størst, kan man indse rigtigheden af de tre kvadratsætninger ved hjælp af simple illustrationer:
Af figuren aflæses umiddelbart, at
(
a
+
b
)
2
{\displaystyle (a+b)^{2}}
kan sammenstykkes af
a
2
{\displaystyle a^{2}}
,
b
2
{\displaystyle b^{2}}
og to gange
a
⋅
b
{\displaystyle a\cdot b}
, hvilket illustrerer første kvadratsætning.
Af figuren aflæses, at
a
2
{\displaystyle a^{2}}
kan sammenstykkes af
(
a
−
b
)
2
{\displaystyle (a-b)^{2}}
,
b
2
{\displaystyle b^{2}}
og to gange
(
a
−
b
)
⋅
b
{\displaystyle (a-b)\cdot b}
, dvs.
a
2
=
(
a
−
b
)
2
+
b
2
+
2
⋅
(
a
−
b
)
⋅
b
=
{\displaystyle a^{2}=(a-b)^{2}+b^{2}+2\cdot (a-b)\cdot b=}
(
a
−
b
)
2
+
b
2
+
2
⋅
a
⋅
b
−
2
⋅
b
2
=
{\displaystyle (a-b)^{2}+b^{2}+2\cdot a\cdot b-2\cdot b^{2}=}
(
a
−
b
)
2
+
2
⋅
a
⋅
b
−
b
2
{\displaystyle (a-b)^{2}+2\cdot a\cdot b-b^{2}}
hvilket omskrives til anden kvadratsætning.
Af figuren til højre aflæses umiddelbart, at arealet af det blå område er
a
2
−
b
2
{\displaystyle a^{2}-b^{2}}
. Ved at flytte det grønt stiplede område kan figuren til højre fremkomme. Arealet af det blå område ses nu at være
(
a
+
b
)
⋅
(
a
−
b
)
{\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)}
, hvilket illustrerer rigtigheden af tredje kvadratsætning.
107
2
=
(
100
+
7
)
2
=
100
2
+
7
2
+
2
⋅
100
⋅
7
=
10000
+
49
+
1400
=
11449
{\displaystyle 107^{2}=(100+7)^{2}=100^{2}+7^{2}+2\cdot 100\cdot 7=10000+49+1400=\mathbf {11449} }
55
⋅
45
=
(
50
+
5
)
⋅
(
50
−
5
)
=
50
2
−
5
2
=
2500
−
25
=
2475
{\displaystyle 55\cdot 45=(50+5)\cdot (50-5)=50^{2}-5^{2}=2500-25=\mathbf {2475} }
(
4
⋅
p
−
3
⋅
q
)
2
+
24
⋅
p
⋅
q
=
16
⋅
p
2
+
9
⋅
q
2
−
24
⋅
p
⋅
q
+
24
⋅
p
⋅
q
=
16
⋅
p
2
+
9
⋅
q
2
{\displaystyle (4\cdot p-3\cdot q)^{2}+24\cdot p\cdot q=16\cdot p^{2}+9\cdot q^{2}-24\cdot p\cdot q+24\cdot p\cdot q=\mathbf {16\cdot p^{2}+9\cdot q^{2}} }
x
2
−
y
2
x
+
y
+
x
2
−
y
2
x
−
y
=
(
x
+
y
)
⋅
(
x
−
y
)
x
+
y
+
(
x
+
y
)
⋅
(
x
−
y
)
x
−
y
=
(
x
−
y
)
+
(
x
+
y
)
=
2
⋅
x
{\displaystyle {\frac {x^{2}-y^{2}}{x+y}}+{\frac {x^{2}-y^{2}}{x-y}}={\frac {(x+y)\cdot (x-y)}{x+y}}+{\frac {(x+y)\cdot (x-y)}{x-y}}=(x-y)+(x+y)=\mathbf {2\cdot x} }
Omskrivning af en kvadratisk form for at bestemme den tilhørende kurveform:
x
2
−
2
⋅
x
+
y
2
+
6
⋅
y
−
26
=
0
⇔
{\displaystyle x^{2}-2\cdot x+y^{2}+6\cdot y-26=0\Leftrightarrow }
x
2
−
2
⋅
x
+
1
−
1
+
y
2
+
6
⋅
y
+
9
−
9
−
26
=
0
⇔
{\displaystyle x^{2}-2\cdot x+1-1+y^{2}+6\cdot y+9-9-26=0\Leftrightarrow }
(
x
2
−
2
⋅
x
+
1
)
+
(
y
2
+
6
⋅
y
+
9
)
=
1
+
9
+
26
=
36
⇔
{\displaystyle (x^{2}-2\cdot x+1)+(y^{2}+6\cdot y+9)=1+9+26=36\Leftrightarrow }
(
x
−
1
)
2
+
(
y
+
3
)
2
=
6
2
{\displaystyle \mathbf {(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=6^{2}} }
Ligningen fremstiller altså en cirkel med centrum i
(
1
,
−
3
)
{\displaystyle (1,-3)}
og radius
6
{\displaystyle 6}
.
Division med et komplekst tal , her udnyttes, at
i
2
=
−
1
{\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}
:
1
6
+
8
⋅
i
=
6
−
8
⋅
i
(
6
+
8
⋅
i
)
⋅
(
6
−
8
⋅
i
)
=
6
−
8
⋅
i
36
−
(
−
64
)
=
6
−
8
⋅
i
100
=
0.06
−
0.08
⋅
i
{\displaystyle {\frac {1}{6+8\cdot \mathrm {i} }}={\frac {6-8\cdot \mathrm {i} }{(6+8\cdot \mathrm {i} )\cdot (6-8\cdot \mathrm {i} )}}={\frac {6-8\cdot \mathrm {i} }{36-(-64)}}={\frac {6-8\cdot \mathrm {i} }{100}}=\mathbf {0.06-0.08\cdot \mathrm {i} } }
^ Tommy Boch: Mængder og tal , Forlaget FAG, 1982, side 2.
^ Jens Carstensen, Jesper Frandsen: Matematik 1 for obligatorisk niveau , Systime, 1988, side 27.
^ Jens Carstensen, Jesper Frandsen: Matematik 1 , Systime, 1997, side 14.
^ Knud Erik Nielsen, Esper Fogh: Vejen til matematik AB1 , Forlaget Hax, 2005, side 24 - 25.