Kvadratkomplettering

Kvadratkomplettering er en teknik i algebra, hvis grundlæggende formål er at reducere en variabel med et polynomium af anden grad i en ligning eller i et matematisk udtryk, så der fremkommer et lineært polynomisk udtryk i anden potens. Derved gøres det i mange sammenhænge lettere at løse ligningen.

OversigtRediger

Ved kvadratkomplettering transformeres et andengradspolynomiom altså til et kvaderet lineært polynomiun og en konstant. Det betyder, at et polynomium af formen

 

ændres til et af formen

 

Det bemærkes, at koefficienterne a, b, c, d og e ovenfor selv kan være matematiske udtryk og indeholde andre variable end x.

Den vigtigste anvendelse af kvadratkomplettering er at finde løsningerne til andengradsligningen.

Almindelig formelRediger

For

 

har vi

 
 
 

Eller

 

EksemplerRediger

Eksempel 1Rediger

Et meget simpelt eksempel er:

 

Eksempel 2Rediger

Et andet simpelt eksempel er at finde rødderne af:

 

* kvadratkompletteringen

Eksempel 3Rediger

Betragt problemer med at finde følgende integral:

 .

Det kan gøres ved hjælp af kvadratkomplettering af nævneren. Nævneren er

 .

Når kvadratet kompletteres ved at lægge (10/2)² = 25 til x² – 10x fås det perfekte kvadrat x² – 10x + 25 = (x – 5)². Derfor fås:

 .

Hvorfor integralet er

 .

Eksempel 4Rediger

Som en generalisering af eksempel 2, kan rødderne af:

 ,

findes ved at omforme ligningen, så "x" og "x i anden" ikke længere optræder. For at opnå dette, kompletteres kvadratet: tag halvdelen af koefficienten til "x", kvadrer den, og læg den til på begge sider af lighedstegnet, således:

 

* kvadratkomplettering

Eksempel 5 (den generelle andengradsligning)Rediger

Eksempel 4 kan generaliseres yderligere til at finde løsningerne til den generelle andengradsligning

 

idet der først foretages kvadratkomplettering således:

 .

hvoraf

 

Komplekse versioner af kvadratkompletteringRediger

Betragt udtrykket

 

hvor   og   er komplekse tal,   og   er de komplexe conjugationer af henholdsvis   og  , og   er et reelt tal. Dette kan udtrykkes på denne måde:

 

som klart er en virkelig mængde. Det er fordi

 

Ligeledes kan udtrykket

 

hvor  ,  ,  ,   og   er reelle tal og   samt  , udtrykkes ved kvadratet af den absolutte værdi af et komplekst tal. Defineres

 

 

hvorfor

 

Se ogsåRediger