Newtons afkølingslov

Newtons afkølingslov er en lineær førsteordens differentialligning,[1][2] som beskriver, hvordan et legeme[3] (eller en varm[4] væske i en åben beholder) afkøles.[5]

Det kan f.eks. dreje sig om en kop te.[6] Hastigheden, hvormed teens temperatur ændrer sig, er proportional[7][8] med forskellen mellem téens temperatur[9] og omgivelsernes temperatur.[10][11]

Afkølingsloven handler således om temperaturudligning.[12]

AfkølingslovenRediger

Teens temperatur er  , mens omgivelsernes temperatur er  , så er afkølingsloven givet ved denne lineære første ordens differentialligning:[13]

 

, hvor  

Differentialligningens venstre-side er den hastighed, hvormed teens temperatur ændrer sig med tiden  .[14]

På højresiden er   en positiv konstant. For   vil temperaturen altså være faldende, indtil teen har samme temperatur som omgivelserne ( ).

Termisk ligevægt er da opnået.

Teens afkøling er proportional med differencen mellem teens temperatur og omgivelsernes temperatur.[15]

Differentialligningens løsningRediger

Differentialligningen kan løses vha. separation af de variable. Først skrives temperaturforskellen som  :

 

En ændring i   er det samme som en ændring i  . Ligningen kan da løses vha. separation af de variable, hvilket giver:

 

hvor   er en konstant. Det ses, at konstant er lig med temperaturforskellen til tiden nul  :

 

  skrives ud igen:

 

Hvilket giver:

 

Differentialligningens løsning[16][17] er altså et forskudt eksponentielt fald,[18][19] hvor   aftager eksponentielt og nærmer sig   asymptotisk.[20]

Det ses, at   bestemmer tidsskalen for nedkølingen. Til tiden  , hvor

 

er temperaturforskellen faldet med en faktor   (  er Eulers tal) eller ca. 63 %.   er altså den karakteristiske tid for nedkølingen.

EksempelRediger

 
Temperaturfaldet (rød) over tid for kanden med te ifølge Newtons afkølingslov. Den vandrette asymptote (grøn) angiver omgivelsernes temperatur.

Loven beskriver for eksempel en kande tes afkøling. Téens begyndelsestemperatur er 95 °C, mens omgivelsernes temperatur er 20 °C, hvilket vil sige, at teen er 75 °C varmere end omgivelserne. Dvs. at:

 

Efter 5 minutter

 

er téens temperatur 75 °C, hvilket er 55 °C over omgivelserne:

 

Ud fra disse oplysninger kan   estimeres:

 

hvor   er den naturlige logaritme. Værdierne fra eksemplet indsættes, og   er dermed:

 

Tilsvarende er den karakteristiske tid:

 

Ud fra de givne oplysninger kan loven altså bruges til at forudsige, at temperaturforskellen vil falde med 63 % i løbet af 16 minutter. Det svarer til, at teen da kun er 48 °C.[21]

OpståenRediger

Issac Newton publicerede sin afkølingslov i 1701.[22]

Se ogsåRediger

Eksterne henvisningerRediger

BogRediger

  • Hebsgaard, Thomas m.fl. (1990): Matematik højniveau 2. Forlaget Trip, Vejle. ISBN 87-88049-17-5


ReferencerRediger

  1. ^ https://www.skoleflix.dk/watch/newtons-afkølingslov-som-lineær-differentialligning_WK1EuGb8hslidVM.html
  2. ^ http://web.math.ku.dk/~moller/e01/matbio/lektion8/lektion8a.pdf
  3. ^ http://olewitthansen.dk/LMFK/Om%20opvarmning%20og%20afkoeling.pdf
  4. ^ https://rucforsk.ruc.dk/ws/portalfiles/portal/62493562/FUFEksamensprojekt.pdf
  5. ^ http://www.nakgym.dk/fysik/la/termodynamik_webmappe/afkoeling_aeg.htm
  6. ^ https://www.sdu.dk/-/media/files/om_sdu/centre/c_lsul/skriftserie/labmat/matematik+i+eks+vaekst_web.pdf
  7. ^ https://www.skoleflix.dk/watch/differentialligninger-newtons-afkølingslov-forskudt-eksponentiel-vækst-y-039-b-ay_OzTXlFZhciqCWYr.html
  8. ^ https://www.lmfk.dk/artikler/data/artikler/1302/1302_42.pdf
  9. ^ https://www.math24.net/newtons-law-cooling/
  10. ^ Hebsgaard (1990), s. 73.
  11. ^ https://uvmat.dk/bentzen/DIFF%202%20-%20Kap.%201-7.pdf
  12. ^ https://www.uvmat.dk/bentzen/DIFF%202%20-%20Kap.%201-7.pdf
  13. ^ Hebsgaard (1990) s. 72
  14. ^ https://cmu.math.ku.dk/projekter/dasg/cas-paa-ag/aflevering14-newtons-afk__lingslov.pdf
  15. ^ http://www.frividen.dk/wp-content/uploads/SRO-Fysik_Matematik-10-tal-Newtons-afk%C3%B8lingslov.pdf
  16. ^ http://www.mathe.tu-freiberg.de/~bernstei/HMI/mNewton.pdf
  17. ^ https://www.mathelounge.de/696571/gesetzmassigkeit-von-isaac-newton-abkuhlungsgesetz
  18. ^ https://www.skoleflix.dk/watch/newtons-afkølingslov_k9W6Bhhmw6Py8Sb.html
  19. ^ https://www.science-gym.dk/cas-it/it1213/Numerisk_l%F8sning_af_differentilligninger_og_linjeelementer.pdf
  20. ^ https://www.science-gym.dk/cas-it/it1213/Koblede_differentialligninger.pdf
  21. ^ Hebsgaard (1990) s. 73
  22. ^ http://people.uncw.edu/hermanr/mat361/Simulink/FirstOrder.pdf