Separation af de variable

Denne artikel bør gennemlæses af en person med fagkendskab for at sikre den faglige korrekthed.
    Forsøget på at formulere artiklen populærvidenskabeligt gør artiklen uforståelig for både fagfolk og formodentligt også folk, der kun har matematik på A-niveau.


Separation af de variable er en matematisk metode til at løse separabel første ordens differentialligninger.[2] Beviset for, at den logistiske funktions forskrift er løsningen til en differentialligning, kan føres vha. separation af de variable;[3] hvor .

fig. proprotional (1 af 2) viser separation af de variable for proportional første ordens differentialligning.[1]
fig. proprotional (2 af 2) viser separation af de variable for proportional første ordens differentialligning med de to stamfunktioner og fælles integrationskonstant. Nederste linje er en almindelig ligning, hvori y skal isoleres.
fig. lineær (1 af 2) viser separation af de variable for lineær første ordens differentialligning.
fig. lineær (2 af 2) viser separation af de variable for lineær første ordens differentialligning med stamfunktioner og fælles integrationskonstant. Nederste linje er en almindelig ligning, hvori y skal isoleres.
Figuren viser to eksempler på at starte løsningen af den separable første ordens differentialligning, hvis ikke-trivielle løsning er forskriften for logisitisk vækst, ved metoden separation af de variable.

Metoden anvendes, hvor differentialkvotienten af er lig med en funktion af multipliceret med en funktion af :[4]

Først tager man forbehold: og så separerer man de variable:[5] Man dividerer med og multiplicerer med sådan:[6]


Man fjerner gange-tegn og tilføjer integral-tegn på begge sider: Det ubestemte integrale af divideret med funktionen af er lig med det ubestemte integral af funktionen af :[7]


Herefter omdanner man til en almindelig ligning ved at skrive to stamfunktioner:[8]

er et reelt tal og fælles integrationskonstant for de to stamfunktioner.[9]

Den almindelige ligning

redigér

Ved at anvende separation af de variable samt skrive to stamfunktioner og den fælles integrationskonstant (gerne med et græsk bogstav) er der fremkommet en almindelig ligning.

Så er det lettere at isolere   i den almindelige ligning.[5] Når man har isoleret  , så har man beregnet differentialligningens fuldstændige løsning.[10] Ved først at isolere konstanten  ;[11] og så indsætte løsningskurvens punkts koordinater i den fuldstændige løsning beregner man den partikulære løsning, der indeholder det punkt, som løsningskurven gennemskærer.[12]

Illustrationer

redigér

De fire illustrationer formidler det budskab, at en separabel første ordens differentialligning kan opfattes som to ubestemte integraler. Der er tale om et ubestemt integrale af   og et andet ubestemt integrale af  .[13] Men der er gået kludder i de to ubestemte integraler. Så samler man alt, der har med   at gøre på den ene side af lighedstegnet; mens alt, som har med   at gøre, samler man på den anden side af lighedstegnet.[14]

Software

redigér

Der findes CAS-software, som kan foretage separation af de variable: bl.a. Xcas

Xcas foretager separation af de variable med denne kommando:[15]

split((x+1)*(y-2),[x,y]) = [x+1,y-2]

Referencer

redigér
  1. ^ side 4 i Elementær Matematik på olewitthansen.dk
  2. ^ side 1 i Erik Vestergaard: Differentialligninger - separation af variable på matematikfysik.dk
  3. ^ siderne 5-7 i Erik Vestergaard: Differentialligninger - separation af variable på matematikfysik.dk
  4. ^ Separation af variable (siderne 21 - 23) i Mike Vandal Auerbach (2021): Differentialligninger på mathematicus.dk
  5. ^ a b siderne 7 - 10 i Henrik Søgaard Hansen: Differentialligninger på intranet.sctknud-gym.dk
  6. ^ side 40 i Differentialligninger - Et undervisningsforløb med Derive og modelbygning. Højt niveau i matematik i gymnasiet på science-gym.dk
  7. ^ Differentialligninger af første orden på alsholm.dk
  8. ^ Differential equations på maths.gla.ac.uk
  9. ^ side 61 i Matematikcenter: Formelsamling A-niveau Maj 2017 på webmatematik.dk
  10. ^ Løsninger til differentialligninger på webmatematik.dk
  11. ^ side 109 i Formelsamling til matematik af Ventus på matnat.dk & side 29 i Matematisk formelsamling stx A-niveau, maj 2018, på emu.dk
  12. ^ side 20 i Differentialligninger (dateret d. 3. august 2021) på mathematicus.dk
  13. ^ side 46 i Steen Bentzen: ”Matematik for Gymnasiet. Differentialligninger og matematiske modeller” på uvmat.dk
  14. ^ Separation af variable på matlet.dk
  15. ^ Separation of variables - The split command (side 172) i Symbolic Algebra and Mathematics with Xcas på www-fourier.ujf-grenoble.fr

Bøger

  • Carstensen, Jens & Frandsen, Jesper (1985): Matematik 2 - Matematik for gymnasiets matematisk-fysiske gren. Forlaget Systime, Herning. ISBN 87-7351-287-7
  • Hebsgaard, Thomas m.fl. (1990): Matematik højniveau 2. Forlaget Trip, Vejle. ISBN 87-88049-17-5

Refererede online

Øvrige online

 Spire
Denne artikel om matematik er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den.