Rydbergs formel

Rydbergs formel beskriver emissionsspektret fra brint og brint-lignende ioner. Den udsendte bølgelængde $\lambda$ er for brint givet ved:

Hydrogen-spektret på en logaritmisk skala.

${\frac {1}{\lambda }}=R_{\mathrm {H} }\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right);{\text{ }}n<m$

hvor $R_{\mathrm {H} }=10.973.731,\!6\,{\text{m}}^{-1}\approx 1,097\cdot 10^{7}\,{\text{m}}^{-1}$ er Rydbergs konstant, mens $n$ og $m$ er positive heltal. For brint-lignende ioner, hvor der stadig kun er én elektron, men kernen har en ladning på $Z$ elementarladninger, er formlen givet ved:

${\frac {1}{\lambda }}=Z^{2}R_{\mathrm {H} }\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right);{\text{ }}n<m$

Formlen blev formuleret af den svenske fysiker Johannes Rydberg i 1888.

Serier

Ved at sætte $n$ lig med en bestemt værdier kan forskellige tidligere spektralserier udledes:

$n$	$m$	Navn	Konvergerer imod
1	2 – ∞	Lyman-serien	91.13 nm (UV)
2	3 – ∞	Balmer-serien	364.51 nm (Synligt)
3	4 – ∞	Paschen-serien	820.14 nm (Infrarødt)
4	5 – ∞	Brackett-serien	1458.03 nm (Fjerninfrarødt)
5	6 – ∞	Pfund-serien	2278.17 nm (Fjerninrarødt)
6	7 – ∞	Humphreys-serien	3280.56 nm (Fjerninrarødt)

Serierne konvergerer, fordi det andet led i Rydbergs formel går mod nul, når $m$ går mod uendelig.

Udledning

Hovedartikel: Bohrs atommodel.

Rydbergs formel er lige til at udlede fra Bohrs atommodel. I den kan elektronerne kun antage diskrete energiniveauer givet ved:

$E=-{\frac {me^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)$

hvor $n$ igen er et positivt heltal. I formlen er $e$ elementarladningen, $m$ er elektronens masse, $\varepsilon _{0}$ er vakuumpermittiviteten, og $\hbar$ er Plancks reducerede konstant. Hvis en elektron nu går fra en høj tilstand $m$ til en lav tilstand $n$, er energiændringen givet ved:

$\Delta E=E_{m}-E_{n}={\frac {me^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)$

Energien frigives i form af en foton, hvis energi er proportional med frekvensen $\nu$:

$\Delta E=h\nu$

Her er $h$ Plancks konstant. Frekvensen er lysets fart $c$ divideret med $\lambda$, så

$h{\frac {c}{\lambda }}={\frac {me^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)$

eller

${\frac {1}{\lambda }}={\frac {me^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}hc}}\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)$

Dermed er Rydbergs formel udledt, hvor Rydbergs konstant altså er lig med:

$R_{\mathrm {H} }={\frac {me^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}hc}}={\frac {me^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}$

Udtrykket $e^{4}$ kommer fra Coulombs lov, så der skal blot ganges en faktor $Z^{2}$ på for at generalisere til andre atomkerner.

Eksterne henvisninger

• Video om Rydbergs formel