Born-Oppenheimer-approksimationen

Born-Oppenheimer-approksimationen bruges til at gøre det lettere at løse Schrödinger-ligningen for et system af flere elektroner og atomkerner såsom molekyler. I approksimationen anvendes det, at elektronerne har meget mindre masse end atomkernerne. Atomkernerne regnes derfor som stationærer, mens elektronernes tilstande findes. Derefter bruges det resulterende gennemsnit for elektronerne til at løse Schrödinger-ligningen for atomkernerne. I Born-Oppenheimer-approksimationen behandles elektroner og atomkerner altå separat.[1]

Kvantemekanik
Introduktion

 • Ordliste  • Historie

FormuleringRediger

Schrödinger-ligningen for et system af   elektroner og   atomkerner har en Hamilton-operator   givet ved en sum af de kinetiske og potentielle energier:

 

Første led   er elektronernes kinetiske energi,   er atomkernernes kinetiske energi,   er elektron-elektron-frastødning,   er atomkerne-atomkerne-frastødning, mens   er elektron-atomkerne-tiltrækning. Skrevet fuldt ud repræsenteres alle interaktionerne med Coulomb-potentialer:

 

Jf. Born-Oppenheimer-approksimationen antages det nu, at atomkernerne ikke bevæger sig. Det kinetiske led bliver derfor nul, mens kernernes interne afstand   bliver konstant. Således er   konstant og kan udelades fra Hamilton-operatoren uden fysisk betydning. Tilbage står der nu en Hamilton-operator  , der kun beskriver elektronerne:

 

Den elektroniske Schrödinger-ligning

 

kan da løses for at finde elektronernes tilstande. Energien   er en gennemsnitlig forventningsværdi for Hamilton-operatoren:

 

Da elektronerne bevæger sig meget hurtigere end atomkernerne, giver det mening at erstatte disse led i Hamilton-operatoren med et gennemsnit. Atomkernerne befinder sig derved i et effektivt potentiale dannet af den fundne energi   samt atomkerne-atomkerne-potentialet:

 

Schrödinger-ligningen for kernerne er derfor:

 

Ved at finde elektronernes tilstand kan atomkernernes tilstande altså efterfølgende også findes. Løsningerne kan kombineres som et produkt:

 

Dermed er hele systemet løst.[1]

KildehenvisningerRediger

  1. ^ a b Szabo, Attila; Ostlund, Neil S. "2.1.2 The Born-Oppenheimer Approximation", Modern Quantum Chemistry (revideret 1. udgave), Dover Publications, 1996, s. 43-45. ISBN 0486691861.