Elastisk pendul

En masse der hænger i en svingende fjeder.
Confusion colour.svg Ikke at forveksle med et fjederpendul.

Et elastisk pendul består af en masse, der hænger i en fjeder, som svinger. Hver for sig giver en lille pendulsvingning og en oscillerende fjeder begge approksimativt simple harmoniske bevægelser, men kombinationen giver et mere kompliceret system. Et eksempel på et elastisk pendul er en person, der svinger i en elastik i forbindelse med elastikspring.[1]

Elastisk pendul.

ModelleringRediger

For at modellere pendulet kan det betragtes som et to-dimensionelt system med to frihedsgrader. Fjederen har hvilelængden   og kan strækkes med størrelsen  . Pendulets svingningsvinkel er  . Problemet hører dermed under klassisk mekanik. I det nedenstående er Lagrange-formalismen anvendt, hvor en Lagrange først opstilles, hvorefter Euler-Lagrange-ligningerne kan bruges til at finde bevægelsesligningerne for systemet.

LagrangenRediger

En model for det elastisk pendul kan laves med udgangspunkt i systemets Lagrange  :

 

hvor   er den kinetiske energi, og   er den potentielle energi.

Jf. Hookes lov er den potentielle energi i selve fjederen:

 

hvor   er fjederkonstanten.

Den potentielle energi fra tyngdekraften er derimod bestemt af massens højde. For en given vinkel og udstrækning er den potentielle energi:

 

hvor   er tyngdeaccelerationen.

Den kinetiske energi er givet ved:

 

hvor   er massens fart. For at relatere   til de andre variable, skrives farten som en kombination af en bevægelse langs med og vinkelret på fjederen:

 

Lagrangen bliver altså:[1]

 
 

BevægelsesligningerneRediger

 
Simulation af det elastiske pendul. Øverst til venstre er de polære koordinater.

Med to frihedsgrader - for   og   - kan bevægelsesligningerne findes vha. to Euler-Lagrange-ligninger:

 
 

For  :[1]

 

  isoleres:

 

Og for  :[1]

 

  isoleres:

 

Fjerderpendulet er nu beskrevet med to koblede differentialligninger. Disse kan løses numerisk.

For en lille vinkel kan de trigonometriske funktioner simplificeres, og differentialligningerne bliver da:

 

Det ses, at differentialligningerne reduceres yderligere til henholdsvis et fjederpendul og et matematisk pendul, hvis det første-afledte led fjernes. Det svarer til, at pendulet ikke længere svinger til siden eller ikke er elastisk.

KildehenvisningerRediger

  1. ^ a b c d Xiao, Qisong; et al., Dynamics of the Elastic Pendulum (PDF), University of Arizona, s. 10-11, 14. 

Yderligere litteraturRediger

  • Pokorny, Pavel (2008). "Stability Condition for Vertical Oscillation of 3-dim Heavy Spring Elastic Pendulum". Regular and Chaotic Dynamics. 13 (3): 155-165. Bibcode:2008RCD....13..155P. doi:10.1134/S1560354708030027.  pdf or pdf
  • Pokorny, Pavel (2009). "Continuation of Periodic Solutions of Dissipative and Conservative Systems: Application to Elastic Pendulum". Mathematical Problems in Engineering. 2009: 1-15. doi:10.1155/2009/104547. 

Eksterne henvisningerRediger