Newtonsk gravitation

Newtonsk gravitation, Newtons tyngdelov, newtonsk tyngdekraft, gravitationsloven eller loven om universel gravitation er en klassisk mekanisk model for gravitation udviklet af Isaac Newton og udgivet i hans bog Philosophiae Naturalis Principia Mathematica i 1687. I følge modellen påvirker alle legemer hinanden med en tiltrækkende kraft, der har retning langs linjen gennem objekternes centre. Kraften mellem to legemer er proportional med produktet af de to legemers masse, mens den er omvendt proportional med afstanden i anden. Den newtonske gravitation kan bruges til at udlede både Galileis faldlov og Keplers love. Newtonsk gravitation kan igen udledes vha. den generelle relativitetsteori.

To masser tiltrækker hinanden med lige stor kraft.

Gauss' tyngdelov er en ækvivalent omformulering af Newtons tyngdelov.

Kraften

redigér

Loven kan skrives som:

 

hvor

Minustegnet skyldes, at kraften altid er tiltrækkende. Det ses desuden, at legemer uden masse ikke mærker en kraft og heller ikke kan påvirke andre legemer med en kraft. Tyngdekraften aftager med afstanden, men har uendelig rækkevidde.[1]

Approksimation tæt på jordoverfladen

redigér
  Uddybende artikel: Galileis faldlov

For små afstande tæt på Jordens eller en anden planets overflade er kraften på legemet stortset konstant og afhænger derfor kun af legemets masse  . Den resterende faktor kaldes for tyngdeacceleration  

 

hvor   er planetens masse og   dens radius. Tyngdekraften er altså givet ved:

 

Den skalare værdi er tilsvarende

 

hvor minustegnet er indeholdt i  . En sammenligning med Newtons anden lov viser, at accelerationen   altså er konstant tæt på overfladen:

 

Dette er Galileis faldlov.[2]

Gravitationelt potentiale

redigér

Newtonsk gravitation giver også anledning til gravitationel potentiel energi  . Da

 

Følger det, at:

 

Det ses, at den potentielle energi er omvendt proportional med afstanden og ikke med kvadratet af afstanden.

Typisk refererer det gravitationelle potential   dog til den potentielle energi pr. masse:

 

Dette er potentialet omkring massen  .

Dette er en meningsfuld størrelse, da den negative gradient til potentialet er lig med tyngdeaccelerationen

 

Jo stejlere potentialet er, jo højere er altså tyngdeaccelerationen.

Gauss' tyngdelov

redigér
  Uddybende artikel: Gauss' tyngdelov

Newtons tyngdelov kan omskrives, så massen udskiftes med en massedensitet, hvilket er praktisk for ujævne legemer. Denne form kaldes for Gauss' tyngdelov:

 

Indsættes udtrykket for det gravitationelle potentiale, ses det, at:

 

Newtons tyngdelov er derved blevet formuleret som en Poisson-ligning.

Anvendelser

redigér
  Uddybende artikel: Undvigelseshastighed

En vigtig konsekvens af Newtons model er, at den beskriver, hvor hurtigt man skal rejse for at forlade Jorden permanent. Hvis man starter ved Jordens overflade i afstanden   til centrum, er den nødvendige ændring i potentiel energi   for at undslippe Jorden givet ved:

 

Hvis denne ændring sættes lig med den kinetiske energi   i starten - antaget at man flyver i en direkte linje væk fra Jorden - kan den nødvendige startfart   udledes:

 

Eksistensen af en undvigelseshastighed er ikke forudsagt af Galileis faldlov, og gravitationsloven er derfor helt essentiel for rumfarten.

Eksterne henvisninger

redigér

Kildehenvisninger

redigér
  1. ^ "1.1 Gravitationsloven", Orbit A, Systime A/S, ISBN 9788761657886, hentet 1. juli 2019{{citation}}: CS1-vedligeholdelse: url-status (link)
  2. ^ Skrutskie, Michael, Galileo's Experiment on Falling Bodies, University of Virginia, arkiveret fra originalen 29. juni 2019, hentet 19. juli 2019