Argand-diagram: Et komplekst tal
z
=
a
+
b
⋅
i
{\displaystyle z=a+b\cdot i}
kan illustreres med et punkt (sort prik) i et talplan, hvor realdelen
a
{\displaystyle a}
afsættes ud af førsteaksen (Re) og imaginærdelen
b
{\displaystyle b}
afsættes op ad andenaksen (Im). Beliggenheden af de tre komplekse tal
0
{\displaystyle 0}
,
1
{\displaystyle 1}
og
i
{\displaystyle \mathrm {i} }
er angivet med farvede prikker.
Ved et komplekst tal [ 1] [ 2] [ 3] [ 4] forstås en størrelse
z
{\displaystyle z}
, som er en sum af to komponenter, ét reelt tal (realdelen) og et andet reelt tal (imaginærdelen) ganget med den imaginære enhedsstørrelse
i
{\displaystyle \mathrm {i} }
. Et komplekst tal kan derfor repræsenteres ved to reelle tal, og illustreres som et punkt i et koordinatsystem kaldet et Argand-diagram med en reel og en imaginær akse.
Et komplekst tal skrives på formen
z
=
a
+
b
⋅
i
,
a
∈
R
,
b
∈
R
{\displaystyle z=a+b\cdot \mathrm {i} ,\quad a\in \mathbb {R} ,\;b\in \mathbb {R} }
hvor
a
{\displaystyle a}
og
b
{\displaystyle b}
som angivet er vilkårlige reelle tal og hvor
i
{\displaystyle \mathrm {i} }
er en særligt konstrueret størrelse med egenskaben
i
2
=
−
1
{\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}
Da det for ethvert reelt tal
a
{\displaystyle a}
gælder, at
a
2
≧
0
{\displaystyle a^{2}\geqq 0}
, kan
i
{\displaystyle \mathrm {i} }
ikke være et reelt tal; størrelsen kaldes den imaginære enhed . Populært omtales
i
{\displaystyle \mathrm {i} }
også som "kvadratroden af -1", og det er netop en af de kendetegnende egenskaber ved komplekse tal, at et komplekst tal opløftet i 2. potens kan blive et negativt tal (modsat de reelle tal hvor selv et negativt tal i 2. potens altid er et positivt resultat).
En stringent definition af de komplekse tal
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
og den imaginære enhed
i
{\displaystyle \mathrm {i} }
gives i dette afsnit . Den historiske udvikling beskrives i det historiske afsnit . Endelig er der et afsnit om anvendelse i matematik, fysik og teknik .
Reelle kontra komplekse tal
redigér
Nedenstående figurer illustrerer løst forskellen på reelle og komplekse tal.
Øverste panel : Den reelle, éndimensionale talakse. Punkter med heltallige koordinater er markeret med prikker. Specielt er de reelle tal 0 og 1 angivet med grøn og rød farve. Ved addition parallelforskydes talaksen, på figuren adderes tallet -2.3 (eller 2.3 trækkes fra). Nederste panel : Ved multiplikation strækkes eller sammentrækkes talaksen, på figuren multipliceres med tallet 1.6.
De reelle tal er en éndimensional talmængde og kan derfor opfattes som punkter på en tallinie . Addition svarer til en parallelforskydning langs linjen og multiplikation svarer til en strækning af linjen.
Øverste panel : Det komplekse, todimensionale talplan. Punkter med heltallige koordinater er markeret med et net af prikker. Specielt er de komplekse tal 0, 1 og
i
{\displaystyle \mathrm {i} }
angivet med grøn, rød og blå farve. Ved addition parallelforskydes priknettet både i førsteaksens og andenaksens retning. På figuren adderes tallet
−
2.8
+
1.5
⋅
i
{\displaystyle -2.8+1.5\cdot \mathrm {i} }
. Nederste panel : Ved multiplikation sker der både en strækning og en rotation af planet. På figuren mulipliceres priknettets punkter med tallet
0.8
+
1.38564
⋅
i
{\displaystyle 0.8+1.38564\cdot \mathrm {i} }
, der dels strækker planet med faktoren 1.6, dels drejer det vinklen 60°.
De komplekse tal er en todimensional talmængde og kan derfor opfattes som punkter i et talplan . Addition svarer til en parallelforskydning af planets punkter, mens multiplikation svarer til en strækning i kombination med en rotation af planets punkter.
C
{\displaystyle {\color {White}\mathbb {C} }}
Mængden af komplekse tal betegnes med bogstavet C med dobbeltstreg.
I matematisk litteratur optræder både rækkefølgerne
z
=
a
+
b
⋅
i
{\displaystyle z=a+b\cdot \mathrm {i} }
[ 1] og
z
=
a
+
i
⋅
b
{\displaystyle z=a+\mathrm {i} \cdot b}
[ 3] eller der veksles frit mellem dem[ 2] [ 4] [ 5] . For at fremhæve den imaginære enhed
i
{\displaystyle \mathrm {i} }
, anbefales det, at symbolet skrives uden kursivering[ 6] .
Inden for vekselstrøm og elektroteknik benyttes et kursiveret lille
i
{\displaystyle i}
til at betegne tidsvariable strømstyrker. Man vil her oftest støde på betegnelsen
j
{\displaystyle j}
for den imaginære enhed, selv om forvekslingsmuligheder næppe forekommer.
Her benyttes notationen
z
=
a
+
b
⋅
i
{\displaystyle z=a+b\cdot \mathrm {i} }
.
Inden for de reelle tal
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
er der tradition for at betegne variable med bogstaverne
x
{\displaystyle x}
og
y
{\displaystyle y}
; inden for de komplekse tal
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
anvendes traditionelt variabelnavne som
z
{\displaystyle z}
og
w
{\displaystyle w}
.
De to dele af det komplekse tal
z
{\displaystyle z}
kaldes realdelen og imaginærdelen :
Realdelen af
z
{\displaystyle z}
:
Re
(
z
)
=
a
{\displaystyle \operatorname {Re} (z)=a}
Imaginærdelen af
z
{\displaystyle z}
:
Im
(
z
)
=
b
{\displaystyle \operatorname {Im} (z)=b}
Bemærk, at realdelen og imaginærdelen er reelle tal.
Fremstilling af et komplekst tal på formen
z
=
a
+
b
⋅
i
{\displaystyle z=a+b\cdot \mathrm {i} }
er entydig. Antag nemlig, at der foreligger to fremstillinger:
z
=
a
1
+
b
1
⋅
i
{\displaystyle z=a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i} }
og
z
=
a
2
+
b
2
⋅
i
{\displaystyle z=a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i} }
Man kan da omskrive således:
a
1
+
b
1
⋅
i
=
a
2
+
b
2
⋅
i
{\displaystyle a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i} =a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i} }
hvoraf
a
1
−
a
2
=
(
b
2
−
b
1
)
⋅
i
{\displaystyle a_{1}-a_{2}=(b_{2}-b_{1})\cdot \mathrm {i} }
Antag at
b
2
≠
b
1
{\displaystyle b_{2}\neq b_{1}}
. Ved division fås da, at
a
1
−
a
2
b
2
−
b
1
=
i
{\displaystyle {\frac {a_{1}-a_{2}}{b_{2}-b_{1}}}=\mathrm {i} }
Brøken på venstre side er et reelt tal, medens højre side er imaginær. Antagelsen
b
2
≠
b
1
{\displaystyle b_{2}\neq b_{1}}
fører altså til en modstrid og må derfor forkastes, dvs.
b
2
=
b
1
{\displaystyle b_{2}=b_{1}}
. Videre følger, at
a
1
−
a
2
=
(
b
2
−
b
1
)
⋅
i
=
0
{\displaystyle a_{1}-a_{2}=(b_{2}-b_{1})\cdot \mathrm {i} =0}
, så også
a
2
=
a
1
{\displaystyle a_{2}=a_{1}}
. De to fremstillinger er altså ens.
Elementære regneregler for komplekse tal
redigér
Summen af to komplekse tal
z
1
{\displaystyle z_{1}}
og
z
2
{\displaystyle z_{2}}
fås ved at addere deres real- og imaginærdele og kan derfor illustreres med det viste parallelogram.
Reglerne er helt de samme som for reelle tal, blot skal man erindre, at
i
2
=
−
1
{\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}
.
Vi betragter to komplekse tal,
z
1
=
a
1
+
b
1
⋅
i
{\displaystyle z_{1}=a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i} \quad }
og
z
2
=
a
2
+
b
2
⋅
i
{\displaystyle \quad z_{2}=a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i} }
.
Kompleks addition:
z
1
+
z
2
{\displaystyle z_{1}+z_{2}}
=
{\displaystyle \,=\,}
(
a
1
+
b
1
⋅
i
)
+
(
a
2
+
b
2
⋅
i
)
{\displaystyle (a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i} )+(a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i} )}
=
{\displaystyle \,=\,}
(
a
1
+
a
2
)
+
(
b
1
+
b
2
)
⋅
i
{\displaystyle (a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})\cdot \mathrm {i} }
Kompleks subtraktion:
z
1
−
z
2
{\displaystyle z_{1}-z_{2}}
=
{\displaystyle \,=\,}
(
a
1
+
b
1
⋅
i
)
−
(
a
2
+
b
2
⋅
i
)
{\displaystyle (a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i} )-(a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i} )}
=
{\displaystyle \,=\,}
(
a
1
−
a
2
)
+
(
b
1
−
b
2
)
⋅
i
{\displaystyle (a_{1}-a_{2})+(b_{1}-b_{2})\cdot \mathrm {i} }
Kompleks multiplikation:
z
1
⋅
z
2
{\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}}
=
{\displaystyle \,=\,}
(
a
1
+
b
1
⋅
i
)
⋅
(
a
2
+
b
2
⋅
i
)
{\displaystyle (a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i} )\cdot (a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i} )}
=
{\displaystyle \,=\,}
a
1
⋅
a
2
+
a
1
⋅
b
2
⋅
i
+
b
1
⋅
i
⋅
a
2
+
b
1
⋅
i
⋅
b
2
⋅
i
{\displaystyle a_{1}\cdot a_{2}+a_{1}\cdot b_{2}\cdot \mathrm {i} +b_{1}\cdot \mathrm {i} \cdot a_{2}+b_{1}\cdot \mathrm {i} \cdot b_{2}\cdot \mathrm {i} }
=
{\displaystyle \,=\,}
(
a
1
⋅
a
2
−
b
1
⋅
b
2
)
+
(
a
1
⋅
b
2
+
a
2
⋅
b
1
)
⋅
i
{\displaystyle (a_{1}\cdot a_{2}-b_{1}\cdot b_{2})+(a_{1}\cdot b_{2}+a_{2}\cdot b_{1})\cdot \mathrm {i} }
Kompleks division:
z
1
z
2
{\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}}
=
{\displaystyle \,=\,}
a
1
+
b
1
⋅
i
a
2
+
b
2
⋅
i
=
(
a
1
+
b
1
⋅
i
)
⋅
(
a
2
−
b
2
⋅
i
)
(
a
2
+
b
2
⋅
i
)
⋅
(
a
2
−
b
2
⋅
i
)
{\displaystyle {\frac {a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i} }{a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i} }}={\frac {(a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i} )\cdot (a_{2}-b_{2}\cdot \mathrm {i} )}{(a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i} )\cdot (a_{2}-b_{2}\cdot \mathrm {i} )}}}
=
{\displaystyle \,=\,}
(
a
1
⋅
a
2
+
b
1
⋅
b
2
)
+
(
a
2
⋅
b
1
−
a
1
⋅
b
2
)
⋅
i
a
2
2
+
b
2
2
{\displaystyle {\frac {(a_{1}\cdot a_{2}+b_{1}\cdot b_{2})+(a_{2}\cdot b_{1}-a_{1}\cdot b_{2})\cdot \mathrm {i} }{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}}
Kompleks konjugering:
z
¯
=
a
−
b
⋅
i
{\displaystyle {\bar {z}}=a-b\cdot \mathrm {i} }
(5 )
Det læses "z-streg". Bemærk, at divisionen udføres ved at forlænge brøken med nævnerens konjugerede tal.
Elementær regning med komplekse tal
(
5
−
4
⋅
i
)
+
(
−
3
−
2
⋅
i
)
=
2
−
6
⋅
i
{\displaystyle (5-4\cdot \mathrm {i} )+(-3-2\cdot \mathrm {i} )={\color {ForestGreen}2-6\cdot \mathrm {i} }}
(
2
+
i
)
⋅
(
3
−
4
⋅
i
)
=
6
−
8
⋅
i
+
3
⋅
i
+
4
=
10
−
5
⋅
i
{\displaystyle (2+\mathrm {i} )\cdot (3-4\cdot \mathrm {i} )=6-8\cdot \mathrm {i} +3\cdot \mathrm {i} +4={\color {ForestGreen}10-5\cdot \mathrm {i} }}
3
−
4
⋅
i
5
+
2
⋅
i
=
(
3
−
4
⋅
i
)
⋅
(
5
−
2
⋅
i
)
(
5
+
2
⋅
i
)
⋅
(
5
−
2
⋅
i
)
=
15
−
20
⋅
i
−
6
⋅
i
+
8
⋅
i
2
25
−
4
⋅
i
2
=
7
−
26
⋅
i
29
=
7
29
−
26
29
⋅
i
{\displaystyle {\frac {3-4\cdot \mathrm {i} }{5+2\cdot \mathrm {i} }}={\frac {(3-4\cdot \mathrm {i} )\cdot (5-2\cdot \mathrm {i} )}{(5+2\cdot \mathrm {i} )\cdot (5-2\cdot \mathrm {i} )}}={\frac {15-20\cdot \mathrm {i} -6\cdot \mathrm {i} +8\cdot {\mathrm {i} }^{2}}{25-4\cdot {\mathrm {i} }^{2}}}={\frac {7-26\cdot \mathrm {i} }{29}}={\color {ForestGreen}\textstyle {\frac {7}{29}}-{\frac {26}{29}}\cdot \mathrm {i} }}
2
−
7
⋅
i
¯
=
2
+
7
⋅
i
{\displaystyle {\overline {2-7\cdot \mathrm {i} }}={\color {ForestGreen}2+7\cdot \mathrm {i} }}
7
⋅
i
−
2
¯
=
−
2
−
7
⋅
i
{\displaystyle {\overline {7\cdot \mathrm {i} -2}}={\color {ForestGreen}-2-7\cdot \mathrm {i} }}
(
a
+
b
⋅
i
)
2
=
(
a
+
b
⋅
i
)
⋅
(
a
+
b
⋅
i
)
=
a
2
−
b
2
+
2
⋅
a
⋅
b
⋅
i
{\displaystyle {(a+b\cdot \mathrm {i} )}^{2}=(a+b\cdot \mathrm {i} )\cdot (a+b\cdot \mathrm {i} )={\color {ForestGreen}a^{2}-b^{2}+2\cdot a\cdot b\cdot \mathrm {i} }}
(
a
+
b
⋅
i
)
⋅
(
a
−
b
⋅
i
)
=
a
2
−
(
b
⋅
i
)
2
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle (a+b\cdot \mathrm {i} )\cdot (a-b\cdot \mathrm {i} )=a^{2}-{(b\cdot \mathrm {i} )}^{2}={\color {ForestGreen}a^{2}+b^{2}}}
De to sidste eksempler viser beregninger med to af kvadratsætningerne .
Definition af de komplekse tal
redigér
Tallegemet
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
redigér
Mængden af reelle tal
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
er et eksempel på den matematiske struktur, som kaldes et (tal)legeme . Det betyder, at der findes to kompositionsregler kaldet addition (skrevet med symbolet '
+
{\displaystyle +}
') og multiplikation (skrevet med symbolet '
⋅
{\displaystyle \cdot }
'), som opfylder følgende aksiomer, der kort beskrives ved hjælp af al-kvantor
∀
{\displaystyle \forall }
og eksistens-kvantor
∃
{\displaystyle \exists }
:
(
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
, +) er en kommutativ gruppe :
Den associative lov er opfyldt:
∀
a
,
b
∈
R
:
(
a
+
b
)
+
c
=
a
+
(
b
+
c
)
{\displaystyle \forall \;a,b\in \mathbb {R} :(a+b)+c=a+(b+c)}
.
Den kommutative lov er opfyldt:
∀
a
,
b
∈
R
:
a
+
b
=
b
+
a
{\displaystyle \forall \;a,b\in \mathbb {R} :a+b=b+a}
.
Der findes et neutralt element for addition eller nulelement , nemlig tallet
0
{\displaystyle 0}
:
∀
a
∈
R
:
a
+
0
=
0
+
a
=
a
{\displaystyle \forall \;a\in \mathbb {R} :a+0=0+a=a}
.
Alle elementer er invertible , dvs. har et modsat element:
∀
a
∈
R
∃
a
∗
∈
R
:
a
+
a
∗
=
0
{\displaystyle \forall \;a\in \mathbb {R} \;\exists \;a^{*}\in \mathbb {R} :a+a^{*}=0}
;
det modsatte element til
a
{\displaystyle a}
betegnes
−
a
{\displaystyle -a}
,
a
∗
=
−
a
{\displaystyle a^{*}=-a}
.
(
R
∖
{
0
}
,
⋅
)
{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\},\cdot )}
er en kommutativ gruppe :
Den associative lov er opfyldt:
∀
a
,
b
∈
R
∖
{
0
}
:
(
a
⋅
b
)
⋅
c
=
a
⋅
(
b
⋅
c
)
{\displaystyle \forall \;a,b\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}
.
Den kommutative lov er opfyldt:
∀
a
,
b
∈
R
∖
{
0
}
:
a
⋅
b
=
b
⋅
a
{\displaystyle \forall \;a,b\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:a\cdot b=b\cdot a}
.
Der findes et neutralt element for multiplikation eller et-element , nemlig tallet
1
{\displaystyle 1}
:
∀
a
∈
R
∖
{
0
}
:
a
⋅
1
=
1
⋅
a
=
a
{\displaystyle \forall \;a\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:a\cdot 1=1\cdot a=a}
.
Alle elementer er invertible , dvs. har et reciprokt element:
∀
a
∈
R
∖
{
0
}
∃
a
∗
∗
∈
R
∖
{
0
}
:
a
⋅
a
∗
∗
=
1
{\displaystyle \forall \;a\in \mathbb {R} \setminus \{0\}\;\exists \;a^{**}\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:a\cdot a^{**}=1}
;
det reciprokke element til
a
{\displaystyle a}
betegnes
1
/
a
{\displaystyle 1/a}
eller
a
−
1
{\displaystyle a^{-1}}
,
a
∗
∗
=
1
/
a
{\displaystyle a^{**}=1/a}
.
Den distibutive lov er opfyldt, dvs.
∀
a
,
b
,
c
∈
R
:
a
⋅
(
b
+
c
)
=
a
⋅
b
+
a
⋅
c
{\displaystyle \forall \;a,b,c\in \mathbb {R} :a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}
.
Tallegemet
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
redigér
Mængden af komplekse tal
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
konstrueres ved at betragte mængden af reelle talpar
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
og heri definere følgende to kompositionsregler:
Addition:
(
a
1
,
a
2
)
+
(
b
1
,
b
2
)
=
(
a
1
+
b
1
,
a
2
+
b
2
)
{\displaystyle (a_{1},a_{2})+(b_{1},b_{2})=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2})}
Multiplikation:
(
a
1
,
a
2
)
⋅
(
b
1
,
b
2
)
=
(
a
1
⋅
b
1
−
a
2
⋅
b
2
,
a
1
⋅
b
2
+
a
2
⋅
b
1
)
{\displaystyle (a_{1},a_{2})\cdot (b_{1},b_{2})=(a_{1}\cdot b_{1}-a_{2}\cdot b_{2},a_{1}\cdot b_{2}+a_{2}\cdot b_{1})}
Talparret
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
er nul-element og talparret
(
1
,
0
)
{\displaystyle (1,0)}
er ét-element:
(
a
1
,
a
2
)
+
(
0
,
0
)
=
(
a
1
+
0
,
a
2
+
0
)
=
(
a
1
,
a
2
)
{\displaystyle (a_{1},a_{2})+(0,0)=(a_{1}+0,a_{2}+0)=(a_{1},a_{2})}
(
a
1
,
a
2
)
⋅
(
1
,
0
)
=
(
a
1
⋅
1
−
a
2
⋅
0
,
a
1
⋅
0
+
a
2
⋅
1
)
=
(
a
1
,
a
2
)
{\displaystyle (a_{1},a_{2})\cdot (1,0)=(a_{1}\cdot 1-a_{2}\cdot 0,a_{1}\cdot 0+a_{2}\cdot 1)=(a_{1},a_{2})}
Man kan ved selvsyn kontrollere, at alle aksiomerne omtalt i forrige afsnit er opfyldt. Her følger et par eksempler:
Multiplikation er kommutativ fordi multiplikation (og addition) af reelle tal er det:
(
a
1
,
a
2
)
⋅
(
b
1
,
b
2
)
{\displaystyle (a_{1},a_{2})\cdot (b_{1},b_{2})}
=
{\displaystyle \,=\,}
(
a
1
⋅
b
1
−
a
2
⋅
b
2
,
a
1
⋅
b
2
+
a
2
⋅
b
1
)
{\displaystyle (a_{1}\cdot b_{1}-a_{2}\cdot b_{2},a_{1}\cdot b_{2}+a_{2}\cdot b_{1})}
=
{\displaystyle \,=\,}
(
b
1
⋅
a
1
−
b
2
⋅
a
2
,
b
1
⋅
a
2
+
b
2
⋅
a
1
)
{\displaystyle (b_{1}\cdot a_{1}-b_{2}\cdot a_{2},b_{1}\cdot a_{2}+b_{2}\cdot a_{1})}
=
{\displaystyle \,=\,}
(
b
1
,
b
2
)
⋅
(
a
1
,
a
2
)
{\displaystyle (b_{1},b_{2})\cdot (a_{1},a_{2})}
Multiplikation er associativ , da udregning af de to sider giver samme resultat:
Venstre side:
(
a
1
,
a
2
)
⋅
(
(
b
1
,
b
2
)
⋅
(
c
1
,
c
2
)
)
{\displaystyle (a_{1},a_{2})\cdot ((b_{1},b_{2})\cdot (c_{1},c_{2}))}
=
{\displaystyle \,=\,}
(
a
1
,
a
2
)
⋅
(
b
1
⋅
c
1
−
b
2
⋅
c
2
,
b
1
⋅
c
2
+
b
2
⋅
c
1
)
0
{\displaystyle (a_{1},a_{2})\cdot (b_{1}\cdot c_{1}-b_{2}\cdot c_{2},b_{1}\cdot c_{2}+b_{2}\cdot c_{1})0}
=
{\displaystyle \,=\,}
(
a
1
⋅
b
1
⋅
c
1
−
a
1
⋅
b
2
⋅
c
2
−
a
2
⋅
b
1
⋅
c
2
−
a
2
⋅
b
2
⋅
c
1
{\displaystyle (a_{1}\cdot b_{1}\cdot c_{1}-a_{1}\cdot b_{2}\cdot c_{2}-a_{2}\cdot b_{1}\cdot c_{2}-a_{2}\cdot b_{2}\cdot c_{1}}
,
{\displaystyle \,,\,}
a
1
⋅
b
1
⋅
c
2
+
a
1
⋅
b
2
⋅
c
1
+
a
2
⋅
b
1
⋅
c
1
−
a
2
⋅
b
2
⋅
c
2
)
{\displaystyle a_{1}\cdot b_{1}\cdot c_{2}+a_{1}\cdot b_{2}\cdot c_{1}+a_{2}\cdot b_{1}\cdot c_{1}-a_{2}\cdot b_{2}\cdot c_{2})}
Højre side:
(
(
a
1
,
a
2
)
⋅
(
b
1
,
b
2
)
)
⋅
(
c
1
,
c
2
)
{\displaystyle ((a_{1},a_{2})\cdot (b_{1},b_{2}))\cdot (c_{1},c_{2})}
=
{\displaystyle \,=\,}
(
a
1
⋅
b
1
−
a
2
⋅
b
2
,
a
1
⋅
b
2
+
a
2
⋅
b
1
)
⋅
(
c
1
,
c
2
)
{\displaystyle (a_{1}\cdot b_{1}-a_{2}\cdot b_{2},a_{1}\cdot b_{2}+a_{2}\cdot b_{1})\cdot (c_{1},c_{2})}
=
{\displaystyle \,=\,}
(
a
1
⋅
b
1
⋅
c
1
−
a
1
⋅
b
2
⋅
c
2
−
a
2
⋅
b
1
⋅
c
2
−
a
2
⋅
b
2
⋅
c
1
{\displaystyle (a_{1}\cdot b_{1}\cdot c_{1}-a_{1}\cdot b_{2}\cdot c_{2}-a_{2}\cdot b_{1}\cdot c_{2}-a_{2}\cdot b_{2}\cdot c_{1}}
,
{\displaystyle \,,\,}
a
1
⋅
b
1
⋅
c
2
+
a
1
⋅
b
2
⋅
c
1
+
a
2
⋅
b
1
⋅
c
1
−
a
2
⋅
b
2
⋅
c
2
)
{\displaystyle a_{1}\cdot b_{1}\cdot c_{2}+a_{1}\cdot b_{2}\cdot c_{1}+a_{2}\cdot b_{1}\cdot c_{1}-a_{2}\cdot b_{2}\cdot c_{2})}
De to resultater er ens.
Den associative lov vises ved tilsvarende (trælsomme) udregninger.
Modsat element
Åbenbart er det modsatte element til
(
a
1
,
a
2
)
{\displaystyle (a_{1},a_{2})}
elementet
(
−
a
1
,
−
a
2
)
{\displaystyle (-a_{1},-a_{2})}
.
Reciprokt element
Lad
(
a
1
,
a
2
)
{\displaystyle (a_{1},a_{2})}
være et element forskelligt fra
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
. Vi skal vise, at der findes et element
(
x
1
,
x
2
)
{\displaystyle (x_{1},x_{2})}
så
(
a
1
,
a
2
)
⋅
(
x
1
,
x
2
)
=
(
1
,
0
)
{\displaystyle (a_{1},a_{2})\cdot (x_{1},x_{2})=(1,0)}
Med anvendelse af produktdefinitionen fører dette til ligningssystemet
{
a
1
⋅
x
1
−
a
2
⋅
x
2
=
1
a
2
⋅
x
1
+
a
1
⋅
x
2
=
0
{\displaystyle {\Bigg \{}{\begin{matrix}{a_{1}\cdot x_{1}-a_{2}\cdot x_{2}=1}\\{a_{2}\cdot x_{1}+a_{1}\cdot x_{2}=0}\end{matrix}}}
der har determinanten
a
1
2
+
a
2
2
{\displaystyle a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}
, som er et positivt tal. Ligningssystemet har derfor netop én løsning
(
x
1
,
x
2
)
=
(
|
1
−
a
2
0
a
1
|
|
a
1
−
a
2
a
2
a
1
|
,
|
a
1
1
a
2
0
|
|
a
1
−
a
2
a
2
a
1
|
)
=
(
a
1
a
1
2
+
a
2
2
,
−
a
2
a
1
2
+
a
2
2
)
{\displaystyle (x_{1},x_{2})={\begin{pmatrix}{\frac {\begin{vmatrix}1&-a_{2}\\0&a_{1}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&-a_{2}\\a_{2}&a_{1}\end{vmatrix}}},{\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&1\\a_{2}&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&-a_{2}\\a_{2}&a_{1}\end{vmatrix}}}\end{pmatrix}}={\bigg (}{\frac {a_{1}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}},{\frac {-a_{2}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}{\bigg )}}
Det reciprokke element er derfor entydigt bestemt til
(
a
1
,
a
2
)
−
1
=
(
a
1
a
1
2
+
a
2
2
,
−
a
2
a
1
2
+
a
2
2
)
{\displaystyle {(a_{1},a_{2})}^{-1}=\left({\frac {a_{1}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}},-{\frac {a_{2}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}\right)}
(6 )
Det reciprokke tal til
(
a
1
,
a
2
)
=
(
1
2
,
−
1
2
)
{\displaystyle (a_{1},a_{2})=({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}})}
er
(
a
1
,
a
2
)
−
1
=
(
1
2
1
2
2
+
(
−
1
2
)
2
,
−
−
1
2
1
2
2
+
(
−
1
2
)
2
)
=
(
1
2
2
⋅
1
4
,
1
2
2
⋅
1
4
)
=
(
1
,
1
)
{\displaystyle {(a_{1},a_{2})}^{-1}=\left({\frac {\tfrac {1}{2}}{{\tfrac {1}{2}}^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}}},-{\frac {-{\tfrac {1}{2}}}{{\tfrac {1}{2}}^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}}}\right)=\left({\frac {\tfrac {1}{2}}{2\cdot {\tfrac {1}{4}}}},{\frac {\tfrac {1}{2}}{2\cdot {\tfrac {1}{4}}}}\right)=(1,1)}
Indlejring af de reelle tal
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
i de komplekse tal
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
redigér
Vi betragter nu specielt den delmængde af de komplekse tal, hvis imaginærdel er nul. Reglerne for addition og multiplikation lyder da
Addition:
(
a
,
0
)
+
(
b
,
0
)
=
(
a
+
b
,
0
)
{\displaystyle (a,0)+(b,0)=(a+b,0)}
Multiplikation:
(
a
,
0
)
⋅
(
b
,
0
)
=
(
a
⋅
b
−
0
⋅
0
,
a
⋅
0
+
0
⋅
b
)
=
(
a
⋅
b
,
0
)
{\displaystyle (a,0)\cdot (b,0)=(a\cdot b-0\cdot 0,a\cdot 0+0\cdot b)=(a\cdot b,0)}
Reciprok værdi:
(
a
,
0
)
−
1
=
(
a
a
2
+
0
,
−
0
a
2
+
0
)
=
(
a
−
1
,
0
)
{\displaystyle {(a,0)}^{-1}=\left({\frac {a}{a^{2}+0}},-{\frac {0}{a^{2}+0}}\right)=(a^{-1},0)}
På denne baggrund tillader man sig at identificere det komplekse tal
(
a
,
0
)
{\displaystyle (a,0)}
med det reelle tal
a
{\displaystyle a}
, og man siger, at mængden
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
er indlejret i
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
eller er en ægte delmængde af
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
.
Medens de reelle tal er en ordnet mængde, dvs. for etvert talpar
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
gælder, at enten er
a
<
b
{\displaystyle a<b}
eller
a
=
b
{\displaystyle a=b}
eller
a
>
b
{\displaystyle a>b}
, så gælder intet tilsvarende for komplekse tal; man kan ikke om to givne forskellige komplekse tal sige, at det ene er større end eller mindre end det andet.
Ifølge produktreglen gælder om det komplekse tal
(
0
,
1
)
{\displaystyle (0,1)}
at
(
0
,
1
)
⋅
(
0
,
1
)
=
(
0
⋅
0
−
1
⋅
1
,
0
⋅
1
−
1
⋅
0
)
=
(
−
1
,
0
)
{\displaystyle (0,1)\cdot (0,1)=(0\cdot 0-1\cdot 1,0\cdot 1-1\cdot 0)=(-1,0)}
Det komplekse tal
(
0
,
1
)
{\displaystyle (0,1)}
kaldes af historiske grunde den imaginære enhed og betegnes med
i
{\displaystyle \mathrm {i} }
:
i
≡
(
0
,
1
)
{\displaystyle \mathrm {i} \equiv (0,1)}
(7 )
Da man kan identificere
(
−
1
,
0
)
{\displaystyle (-1,0)}
med
−
1
{\displaystyle -1}
, når vi frem til ligningen
i
2
=
−
1
{\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}
Et vilkårligt komplekst tal
z
=
(
a
,
b
)
{\displaystyle z=(a,b)}
kan nu skrives på formen
z
=
(
a
,
b
)
=
(
a
,
0
)
+
(
0
,
b
)
=
(
a
,
0
)
+
(
b
,
0
)
⋅
(
0
,
1
)
{\displaystyle z=(a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+(b,0)\cdot (0,1)}
eller kort
z
=
a
+
b
⋅
i
{\displaystyle z=a+b\cdot \mathrm {i} }
(8 )
Introduktionen af den imaginære enhed medfører en skrivemåde for komplekse tal, som er mere praktisk anvendelig end den oprindelige definition med talpar og kompositionsregler. Eksempelvis er
z
⋅
i
=
a
⋅
i
+
b
⋅
i
2
=
−
b
+
a
⋅
i
{\displaystyle z\cdot \mathrm {i} =a\cdot \mathrm {i} +b\cdot {\mathrm {i} }^{2}=-b+a\cdot \mathrm {i} }
.
Kartesisk og polær beskrivelse af komplekse tal
redigér
Kartesisk beskrivelse: Kompleks talplan
redigér
Figuren viser et komplekst tal
z
{\displaystyle z}
og dets konjugerede
z
¯
{\displaystyle {\bar {z}}}
; de to ligger symmetrisk omkring den reelle talakse. Desuden illustreres, at multiplikation med
i
{\displaystyle \mathrm {i} }
svarer til en drejning på
90
∘
{\displaystyle 90^{\circ }}
og at multiplikation med
−
i
{\displaystyle -\mathrm {i} }
(eller division med
i
{\displaystyle \mathrm {i} }
!) svarer til en drejning på
−
90
∘
{\displaystyle -90^{\circ }}
.
Et komplekst tal
z
=
a
+
b
⋅
i
{\displaystyle z\ =a+b\cdot \mathrm {i} }
kan naturligt illustreres med et punkt med koordinaterne
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
i et koordinatsystem med den reelle akse som ordinat og den imaginære akse som abscisse. Dette talplan kaldes det komplekse eller det gaussiske plan eller argand-planet . Om baggrunden for disse betegnelser se det historiske afsnit .
Nogle geometriske fortolkninger:
Da
z
¯
=
a
−
b
⋅
i
{\displaystyle {\bar {z}}=a-b\cdot \mathrm {i} }
, svarer kompleks konjugering, jfr. ligning (5) , til spejling om den reelle akse.
Da addition sker efter samme regel som for vektorer, kan en sum
z
=
z
1
+
z
2
{\displaystyle z=z_{1}+z_{2}}
konstrueres som et parallelogram.
Multiplikation med
i
{\displaystyle \mathrm {i} }
sker ved drejning på
90
∘
{\displaystyle 90^{\circ }}
, division ved drejning på
−
90
∘
{\displaystyle -90^{\circ }}
.
Da
R
e
(
z
)
=
a
{\displaystyle \mathrm {Re} (z)=a}
, fås realdelen ved projektion af
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
på den reelle akse.
Da
I
m
(
z
)
=
b
{\displaystyle \mathrm {Im} (z)=b}
, fås imaginærdelen ved projektion af
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
på den imaginære akse.
Endvidere ses det, at real- og imaginærdel kan udtrykkes ved
z
{\displaystyle z}
og
z
¯
{\displaystyle {\bar {z}}}
:
R
e
(
z
)
=
1
2
⋅
(
z
+
z
¯
)
{\displaystyle \mathrm {Re} \,(z)={\tfrac {1}{2}}\cdot (z+{\bar {z}})}
I
m
(
z
)
=
1
2
⋅
i
⋅
(
z
−
z
¯
)
{\displaystyle \mathrm {Im} \,(z)={\tfrac {1}{2\cdot \mathrm {i} }}\cdot (z-{\bar {z}})}
Polær beskrivelse: Modulus og argument
redigér
Et komplekst tal
z
{\displaystyle z}
kan fastlægges både ved sine kartesiske koordinater
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
(som
z
=
a
+
b
⋅
i
{\displaystyle z=a+b\cdot \mathrm {i} }
) og ved sine polære koordinater
⟨
r
,
φ
⟩
{\displaystyle \langle r,\varphi \rangle }
(som
z
=
r
⋅
exp
(
φ
⋅
i
{\displaystyle z=r\cdot \exp(\varphi \cdot \mathrm {i} }
)). Figuren viser modulus
r
=
|
z
|
{\displaystyle r=|z|}
og argument
φ
=
arg
(
z
)
{\displaystyle \varphi =\arg(z)}
for dels det komplekse tal
z
=
4
+
3
⋅
i
{\displaystyle z=4+3\cdot \mathrm {i} }
, dels det konjugerede tal
z
¯
{\displaystyle {\bar {z}}}
og dels for
w
=
−
3.5
−
2
⋅
i
{\displaystyle w=-3.5-2\cdot \mathrm {i} }
(med polære koordinater
⟨
s
,
ψ
⟩
{\displaystyle \langle s,\psi \rangle }
. Argumentet kan vælges at ligge i vinkelintervallet
[
−
180
∘
,
180
∘
[
{\displaystyle [-180^{\circ },\,180^{\circ }[}
(brugt ved
z
¯
{\displaystyle {\bar {z}}}
) eller i intervallet
[
0
∘
,
360
∘
[
{\displaystyle [0^{\circ },\,360^{\circ }[}
(brugt ved
w
{\displaystyle w}
).
Et komplekst tal
z
=
a
+
b
⋅
i
{\displaystyle z=a+b\cdot \mathrm {i} }
, som ikke er lig nul, kan ved siden af sine kartesiske koordinater
P
=
(
a
,
b
)
{\displaystyle {\text{P}}=(a,b)}
også beskrives ved sine polære koordinater
⟨
r
,
φ
⟩
{\displaystyle \left\langle r,\varphi \right\rangle }
. Her betegner
r
{\displaystyle r}
punktets afstand fra origo
O
=
(
0
,
0
)
{\displaystyle {\text{O}}=(0,0)}
og
φ
{\displaystyle \varphi }
er den vinkel, som liniestykket
OP
{\displaystyle {\text{OP}}}
danner med den reelle akse, se figuren.
Den polære koordinat
r
{\displaystyle r}
kaldes det komplekse tals modulus eller numeriske værdi eller norm og skrives
|
z
|
=
r
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle |z|=r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
Den polære koordinat
φ
{\displaystyle \varphi }
kaldes det komplekse tals argument og skrives
arg
(
z
)
=
φ
=
arctanxy
(
a
,
b
)
{\displaystyle \arg(z)=\varphi =\operatorname {arctanxy} (a,b)}
Her er
arctanxy
(
x
,
y
)
{\displaystyle \operatorname {arctanxy} (x,y)}
den arcustangens -funktion, som beregner den vinkel, som en linje fra origo til punktet med koordinaterne
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
danner med førsteaksen.
Det komplekse tal
z
=
0
{\displaystyle z=0}
har modulus
|
z
|
=
0
{\displaystyle \left\vert z\right\vert =0}
, men tillægges ikke noget argument.
Argumentet for et komplekst tal er en flertydig størrelse: Hvis
arg
(
z
)
=
φ
{\displaystyle \arg(z)=\varphi }
er argument for
z
{\displaystyle z}
, så kan også ethvert af tallene
φ
+
2
⋅
π
⋅
n
,
n
∈
Z
{\displaystyle \varphi +2\cdot \pi \cdot n,\;n\in \mathbb {Z} }
bruges som argument, fordi addition af et multiplum af
2
⋅
π
{\displaystyle 2\cdot \pi }
( eller
360
∘
{\displaystyle 360^{\circ }}
i gradmål) udpeger den samme retning. Man vælger ofte at lade
φ
{\displaystyle \varphi }
ligge i det halvåbne interval
[
−
π
,
π
[
{\displaystyle [-\pi ,\pi [}
( eller i gradmål
[
−
180
∘
,
180
∘
[
{\displaystyle [-180^{\circ },\,180^{\circ }[}
).
z
=
−
i
{\displaystyle z=-\mathrm {i} }
:
{\displaystyle \,:\,}
|
z
|
=
(
0
)
2
+
(
−
1
)
2
=
1
=
1
{\displaystyle |z|={\sqrt {(0)^{2}+(-1)^{2}}}={\sqrt {1}}=1}
arg
(
z
)
=
−
π
2
=
−
90
∘
{\displaystyle \arg(z)=-\pi \ 2=-90^{\circ }}
z
=
−
1
+
i
{\displaystyle z=-1+\mathrm {i} }
:
{\displaystyle \,:\,}
|
z
|
=
(
−
1
)
2
+
(
1
)
2
=
2
{\displaystyle |z|={\sqrt {(-1)^{2}+(1)^{2}}}={\sqrt {2}}}
arg
(
z
)
=
3
/
4
⋅
π
=
135
∘
{\displaystyle \arg(z)=3/4\cdot \pi =135^{\circ }}
z
=
−
5
−
12
⋅
i
{\displaystyle z=-5-12\cdot \mathrm {i} }
:
{\displaystyle \,:\,}
|
z
|
=
(
−
5
)
2
+
(
−
12
)
2
=
169
=
13
{\displaystyle |z|={\sqrt {(-5)^{2}+(-12)^{2}}}={\sqrt {169}}=13}
arg
(
z
)
=
arctanxy
(
−
5
,
−
12
)
≈
−
1.9656
≈
−
112.62
∘
{\displaystyle \arg(z)=\operatorname {arctanxy} (-5,-12)\approx -1.9656\approx -112.62^{\circ }}
De kartesiske koordinater for et komplekst tal
z
{\displaystyle z}
med modulus
r
=
|
z
|
{\displaystyle r=|z|}
og argument
φ
=
arg
(
z
)
{\displaystyle \varphi =\arg(z)}
fås ved projektion på den reelle hhv. imaginære akse:
R
e
(
z
)
=
r
⋅
cos
(
φ
)
{\displaystyle \mathrm {Re} \,(z)=r\cdot \cos(\varphi )}
I
m
(
z
)
=
r
⋅
sin
(
φ
)
{\displaystyle \mathrm {Im} \,(z)=r\cdot \sin(\varphi )}
Tallet kan derfor skrives
z
=
r
⋅
(
cos
(
φ
)
+
sin
(
φ
)
⋅
i
)
{\displaystyle z=r\cdot (\cos(\varphi )+\sin(\varphi )\cdot \mathrm {i} )}
.
Heraf finder vi, at produktet af to komplekse tal
z
{\displaystyle z}
=
{\displaystyle \,=\,}
|
z
|
⋅
(
cos
(
φ
)
+
sin
(
φ
)
⋅
i
)
{\displaystyle |z|\cdot (\cos(\varphi )+\sin(\varphi )\cdot \mathrm {i} )}
{\displaystyle \quad }
φ
=
arg
(
z
)
{\displaystyle \varphi =\arg(z)}
w
{\displaystyle w}
=
{\displaystyle \,=\,}
|
w
|
⋅
(
cos
(
ψ
)
+
sin
(
ψ
)
⋅
i
)
{\displaystyle |w|\cdot (\cos(\psi )+\sin(\psi )\cdot \mathrm {i} )}
{\displaystyle \quad }
ψ
=
arg
(
w
)
{\displaystyle \psi =\arg(w)}
bliver
z
⋅
w
{\displaystyle z\cdot w}
=
{\displaystyle \,=\,}
|
z
|
⋅
(
cos
(
φ
)
+
sin
(
φ
)
⋅
i
)
⋅
|
w
|
⋅
(
cos
(
ψ
)
+
sin
(
ψ
)
⋅
i
)
{\displaystyle |z|\cdot (\cos(\varphi )+\sin(\varphi )\cdot \mathrm {i} )\cdot |w|\cdot (\cos(\psi )+\sin(\psi )\cdot \mathrm {i} )}
=
{\displaystyle \,=\,}
|
z
|
⋅
|
w
|
⋅
(
cos
(
φ
)
⋅
cos
(
ψ
)
−
sin
(
φ
)
⋅
sin
(
ψ
)
)
+
(
cos
(
φ
)
⋅
sin
(
ψ
)
+
sin
(
φ
)
⋅
cos
(
ψ
)
)
⋅
i
)
{\displaystyle |z|\cdot |w|\cdot (\cos(\varphi )\cdot \cos(\psi )-\sin(\varphi )\cdot \sin(\psi ))+(\cos(\varphi )\cdot \sin(\psi )+\sin(\varphi )\cdot \cos(\psi ))\cdot \mathrm {i} )}
=
{\displaystyle \,=\,}
|
z
|
⋅
|
w
|
⋅
(
cos
(
φ
+
ψ
)
+
sin
(
φ
+
ψ
)
⋅
i
)
{\displaystyle |z|\cdot |w|\cdot (\cos(\varphi +\psi )+\sin(\varphi +\psi )\cdot \mathrm {i} )}
hvor vi i den sidste omskrivning har anvendt to af de trigonometriske additionsformler . Man kan heraf konkludere, at
|
z
⋅
w
|
=
|
z
|
⋅
|
w
|
{\displaystyle |z\cdot w|\,=\,|z|\cdot |w|}
arg
(
z
⋅
w
)
=
arg
(
z
)
+
arg
(
w
)
{\displaystyle \arg(z\cdot w)\,=\arg(z)+\arg(w)}
For
z
≠
0
{\displaystyle z\neq 0}
gælder, at
z
⋅
1
z
=
1
{\displaystyle z\cdot {\frac {1}{z}}=1}
. Heraf slutter vi dels at
1
=
|
1
|
=
|
z
⋅
1
z
|
=
|
z
|
⋅
|
1
z
|
⇔
|
1
z
|
=
1
|
z
|
{\displaystyle 1=|1|=\left|z\cdot {\frac {1}{z}}\right|=|z|\cdot \left|{\frac {1}{z}}\right|\quad \Leftrightarrow \quad \left|{\frac {1}{z}}\right|={\frac {1}{|z|}}}
og dels at
0
=
arg
(
1
)
=
arg
(
z
⋅
1
z
)
=
arg
(
z
)
+
arg
(
1
z
)
⇔
arg
(
1
z
)
=
−
arg
(
z
)
{\displaystyle 0=\arg(1)=\arg \left(z\cdot {\frac {1}{z}}\right)=\arg(z)+\arg \left({\frac {1}{z}}\right)\quad \Leftrightarrow \quad \arg \left({\frac {1}{z}}\right)=-\arg(z)}
Heraf følger
|
z
w
|
=
|
z
⋅
1
w
|
=
|
z
|
⋅
|
1
w
|
=
|
z
|
⋅
1
|
w
|
=
|
z
|
|
w
|
{\displaystyle \left|{\frac {z}{w}}\right|=\left|z\cdot {\frac {1}{w}}\right|=|z|\cdot \left|{\frac {1}{w}}\right|=|z|\cdot {\frac {1}{|w|}}={\frac {|z|}{|w|}}}
samt
arg
(
z
w
)
=
arg
(
z
⋅
1
w
)
=
arg
(
z
)
+
arg
(
1
w
)
=
arg
(
z
)
−
arg
(
w
)
{\displaystyle \arg \left({\frac {z}{w}}\right)=\arg \left(z\cdot {\frac {1}{w}}\right)=\arg(z)+\arg \left({\frac {1}{w}}\right)=\arg(z)-\arg(w)}
Den irske matematiker William Rowan Hamilton , omtalt i det historiske afsnit , indførte hjælpefunktionen
c
i
s
{\displaystyle \mathrm {cis} }
med komplekse funktionsværdier:
c
i
s
(
x
)
=
cos
(
x
)
+
sin
(
x
)
⋅
i
x
∈
R
{\displaystyle \mathrm {cis} (x)=\cos(x)+\sin(x)\cdot \mathrm {i} \quad x\in \mathbb {R} }
(9 )
Navnet kan opfattes som en sammentrækning af c osinus, i maginær og s inus. Ved differentiation med hensyn til
x
{\displaystyle x}
fås
c
i
s
(
x
)
′
=
−
sin
(
x
)
+
cos
(
x
)
⋅
i
=
cos
(
x
)
⋅
i
+
sin
(
x
)
⋅
i
2
=
i
⋅
c
i
s
(
x
)
{\displaystyle \mathrm {cis} (x)'=-\sin(x)+\cos(x)\cdot \mathrm {i} =\cos(x)\cdot \mathrm {i} +\sin(x)\cdot \mathrm {i} ^{2}=\mathrm {i} \cdot \mathrm {cis} (x)}
Funktionen
c
i
s
{\displaystyle \mathrm {cis} }
differentieres altså efter samme regel som en eksponentialfunktion .
Desuden har funktionen følgende egenskaber fælles med den naturlige eksponentialfunktion
exp
{\displaystyle \exp }
:
c
i
s
(
z
+
w
)
=
c
i
s
(
z
)
⋅
c
i
s
(
w
)
{\displaystyle \mathrm {cis} (z+w)=\mathrm {cis} (z)\cdot \mathrm {cis} (w)}
c
i
s
(
z
−
w
)
=
c
i
s
(
z
)
c
i
s
(
w
)
{\displaystyle \mathrm {cis} (z-w)={\frac {\mathrm {cis} (z)}{\mathrm {cis} (w)}}}
Anvendelse af
c
i
s
{\displaystyle \mathrm {cis} }
medfører en kortere notation og forbedret læselighed, for eksempel
e
i
⋅
x
2
{\displaystyle e^{\mathrm {i} \cdot x^{2}}}
kontra
c
i
s
(
x
2
)
{\displaystyle \mathrm {cis} (x^{2})}
.
Hvis man i formlen for produktet af
z
{\displaystyle z}
og
w
{\displaystyle w}
sætter
z
=
w
{\displaystyle z=w}
, får man
z
2
=
|
z
|
2
⋅
(
cos
(
2
⋅
φ
)
+
sin
(
2
⋅
φ
)
⋅
i
)
{\displaystyle z^{2}=|z|^{2}\cdot (\cos(2\cdot \varphi )+\sin(2\cdot \varphi )\cdot \mathrm {i} )}
og for produktet af
z
{\displaystyle z}
og
z
2
{\displaystyle z^{2}}
fås
z
3
=
|
z
|
3
⋅
(
cos
(
3
⋅
φ
)
+
sin
(
3
⋅
φ
)
⋅
i
)
{\displaystyle z^{3}=|z|^{3}\cdot (\cos(3\cdot \varphi )+\sin(3\cdot \varphi )\cdot \mathrm {i} )}
hvilket straks kan generaliseres til
z
n
=
|
z
|
n
⋅
(
cos
(
n
⋅
φ
)
+
sin
(
n
⋅
φ
)
⋅
i
)
n
∈
N
{\displaystyle z^{n}=|z|^{n}\cdot (\cos(n\cdot \varphi )+\sin(n\cdot \varphi )\cdot \mathrm {i} )\quad n\in \mathbb {N} }
Dette er de Moivres formel (udtales "dø mo-A-vre"). I udfoldet form lyder den
(
r
⋅
(
cos
(
φ
)
+
sin
(
φ
)
⋅
i
)
)
n
=
r
n
⋅
(
cos
(
n
⋅
φ
)
+
sin
(
n
⋅
φ
)
⋅
i
)
n
∈
N
{\displaystyle (r\cdot (\cos(\varphi )+\sin(\varphi )\cdot \mathrm {i} ))^{n}=r^{n}\cdot (\cos(n\cdot \varphi )+\sin(n\cdot \varphi )\cdot \mathrm {i} )\quad n\in \mathbb {N} }
(10 )
Illustration af heltalspotenser af et komplekst tal
z
{\displaystyle z}
, altså
z
2
{\displaystyle z^{2}}
,
z
3
{\displaystyle z^{3}}
, ...
z
n
{\displaystyle z^{n}}
, ... Med grå farve vises potenser af
z
{\displaystyle z}
, hvor
|
z
|
=
1
{\displaystyle |z|=1}
og
arg
(
z
)
=
17
∘
{\displaystyle \arg(z)=17^{\circ }}
og hvor potensen varierer fra
1
{\displaystyle 1}
til
20
{\displaystyle 20}
. Potenserne ligger alle på enhedscirklen. Med cyan farve vises potenser af
z
{\displaystyle z}
, hvor
|
z
|
=
0.96
{\displaystyle |z|=0.96}
og
arg
(
z
)
=
17
∘
{\displaystyle \arg(z)=17^{\circ }}
og hvor potensen varierer fra
1
{\displaystyle 1}
til
23
{\displaystyle 23}
. Potenserne ligger alle på en indadsnoet logaritmisk spiral . Med lysegrøn farve vises potenser af
z
{\displaystyle z}
, hvor
|
z
|
=
1.04
{\displaystyle |z|=1.04}
og
arg
(
z
)
=
17
∘
{\displaystyle \arg(z)=17^{\circ }}
og hvor potensen varierer fra
1
{\displaystyle 1}
til
20
{\displaystyle 20}
. Potenserne ligger alle på en udadsnoet logaritmisk spiral .
eller med anvendelse af
c
i
s
{\displaystyle \mathrm {cis} }
-funktionen, jfr. definitionen (9)
c
i
s
(
z
)
n
=
c
i
s
(
n
⋅
z
)
{\displaystyle \mathrm {cis} (z)^{n}=\mathrm {cis} (n\cdot z)}
Opløftning af et komplekst tal
z
{\displaystyle z}
til
n
{\displaystyle n}
-te potens kan altså udføres ved at opløfte dets modulus
r
{\displaystyle r}
i
n
{\displaystyle n}
-te potens og gange dets argument
φ
{\displaystyle \varphi }
med
n
{\displaystyle n}
. Figuren viser nogle eksempler på mulige resultater.
Fordelen ved de Moivres formel for
z
n
{\displaystyle z^{n}}
er, at man kan beregne resultatet uden først at skulle finde værdien af mellemliggende potenser
z
2
{\displaystyle z^{2}}
,
z
3
{\displaystyle z^{3}}
, ...
z
n
−
1
{\displaystyle z^{n-1}}
. Ulempen er, at man skal benytte beregningstunge trigonometriske funktioner i beregningen af
arg
(
z
)
{\displaystyle \arg(z)}
samt i bestemmelse af real- og imaginærdel.
For det komplekse tal
z
=
0.95
+
0.39
⋅
i
{\displaystyle z=0.95+0.39\cdot \mathrm {i} \,}
er
|
z
|
≈
1.026937
,
arg
(
z
)
≈
0.389548
≈
22.39144
∘
{\displaystyle \,|z|\approx 1.026937,\arg(z)\approx 0.389548\approx 22.39144^{\circ }}
Potenser af
z
{\displaystyle z}
beregnet kartesisk og polært (med de Moivres formel) vises i tabellen herunder; resultaterne stemmer naturligvis overens.
Potenser af
z
=
0.95
+
0.39
⋅
i
{\displaystyle z=0.95+0.39\cdot \mathrm {i} \,}
Potens
Kartesiske
z
{\displaystyle z}
-potenser
Modulus
Argument
Realdel
Imaginærdel
n
{\displaystyle n}
z
n
{\displaystyle z^{n}}
|
z
|
n
{\displaystyle |z|^{n}}
arg
(
z
)
⋅
n
{\displaystyle \arg(z)\cdot n}
R
e
(
z
n
)
{\displaystyle \mathrm {Re} \,(z^{n})}
I
m
(
z
n
{\displaystyle \mathrm {Im} \,(z^{n}}
)
1
{\displaystyle 1}
0.95
+
0.39
⋅
i
{\displaystyle 0.95+0.39\cdot \mathrm {i} }
1.026
937
194
{\displaystyle 1.026\,937\,194}
0.389
547
722
{\displaystyle 0.389\,547\,722}
0.95
{\displaystyle 0.95}
0.39
{\displaystyle 0.39}
2
{\displaystyle 2}
0.7574
+
0.741
⋅
i
{\displaystyle 0.7574+0.741\cdot \mathrm {i} }
1.046
{\displaystyle 1.046}
0.779
095
444
{\displaystyle 0.779\,095\,444}
0.7504
{\displaystyle 0.7504}
0.741
{\displaystyle 0.741}
3
{\displaystyle 3}
0.42389
+
0.996606
⋅
i
{\displaystyle 0.42389+0.996606\cdot \mathrm {i} }
1.083
007
965
{\displaystyle 1.083\,007\,965}
1.168
643
166
{\displaystyle 1.168\,643\,166}
0.42389
{\displaystyle 0.42389}
0.996606
{\displaystyle 0.996606}
4
{\displaystyle 4}
0.014
019
16
+
1.112
0928
⋅
i
{\displaystyle 0.014\,019\,16+1.112\,0928\cdot \mathrm {i} }
1.112
181
160
{\displaystyle 1.112\,181\,160}
1.558
190
888
{\displaystyle 1.558\,190\,888}
0.014
019
16
{\displaystyle 0.014\,019\,16}
1.112
0928
{\displaystyle 1.112\,0928}
Illustration af komplekse enhedsrødder, dvs. løsninger til ligningen
z
n
=
1
{\displaystyle z^{n}=1}
for graderne
n
=
2
{\displaystyle n=2}
til
n
=
6
{\displaystyle n=6}
.
Inden for de reelle tals mængde
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
har ligningen
x
n
=
1
{\displaystyle x^{n}=1}
enten én eller to reelle løsninger, nemlig
x
=
1
{\displaystyle x=1}
, hvis
n
{\displaystyle n}
er ulige, og
x
=
−
1
{\displaystyle x=-1}
og
x
=
+
1
{\displaystyle x=+1}
, hvis
n
{\displaystyle n}
er lige.
Ifølge algebraens fundamentalsætning har ligningen
z
n
=
1
{\displaystyle z^{n}=1}
n
{\displaystyle n}
komplekse rødder, som nu skal bestemmes. Først konstateres, at
z
n
=
1
⇒
|
z
n
|
=
|
z
|
n
=
1
⇒
|
z
|
=
1
{\displaystyle z^{n}=1\quad \Rightarrow \quad |z^{n}|=|z|^{n}=1\quad \Rightarrow \quad |z|=1}
.
Alle løsninger ligger altså på enhedscirklen, så
z
{\displaystyle z}
kan skrives
z
=
cis
(
φ
)
{\displaystyle z=\operatorname {cis} (\varphi )}
, hvor
φ
{\displaystyle \varphi }
er løsningens argument. Vi anvender nu de Moivres formel (10) :
z
n
=
1
{\displaystyle z^{n}=1}
⇒
{\displaystyle \quad \Rightarrow \quad }
cis
(
φ
)
n
=
cis
(
n
⋅
φ
)
=
1
{\displaystyle \operatorname {cis} (\varphi )^{n}=\operatorname {cis} (n\cdot \varphi )=1}
⇒
{\displaystyle \quad \Rightarrow \quad }
cos
(
n
⋅
φ
)
+
sin
(
n
⋅
φ
)
⋅
i
=
1
{\displaystyle \cos(n\cdot \varphi )+\sin(n\cdot \varphi )\cdot \mathrm {i} =1}
⇒
{\displaystyle \quad \Rightarrow \quad }
cos
(
n
⋅
φ
)
=
1
{\displaystyle \cos(n\cdot \varphi )=1}
⇒
{\displaystyle \quad \Rightarrow \quad }
n
⋅
φ
=
2
⋅
π
⋅
p
,
p
∈
N
{\displaystyle n\cdot \varphi =2\cdot \pi \cdot p,\quad p\in \mathbb {N} }
⇒
{\displaystyle \quad \Rightarrow \quad }
φ
=
2
⋅
π
n
⋅
p
,
p
∈
[
0
,
1
,
.
.
.
,
n
−
1
]
{\displaystyle \varphi ={\tfrac {2\cdot \pi }{n}}\cdot p,\quad p\in [\;0,\;1,\;...,\;n-1]}
Løsningerne er altså de
n
{\displaystyle n}
komplekse tal
z
=
cis
(
2
⋅
π
n
⋅
p
)
,
p
∈
[
0
,
1
,
.
.
.
,
n
−
1
]
{\displaystyle z=\operatorname {cis} \left({\tfrac {2\cdot \pi }{n}}\cdot p\right),\quad p\in [\;0,\;1,\;...,\;n-1]}
(11 )
Disse ligger jævnt fordelt på enhedscirklen med et indbyrdes vinkelmellemrum på
2
⋅
π
n
{\displaystyle {\tfrac {2\cdot \pi }{n}}}
og udspænder en regulær
n
{\displaystyle n}
-kant med et hjørne i (1,0). De kaldes for de n-te enhedsrødder . [ 1] :55 [ 3] :30
Roden med
p
=
1
{\displaystyle p=1}
betegnes normalt
ε
{\displaystyle \varepsilon }
, de øvrige er potenser af denne. Enhedsrødderne kan derfor også opremses som
1
,
ε
,
ε
2
,
ε
3
,
.
.
.
,
ε
n
−
1
,
ε
=
cis
(
2
⋅
π
n
)
{\displaystyle 1,\;\varepsilon ,\;\varepsilon ^{2},\;\varepsilon ^{3},\;...,\;\varepsilon ^{n-1},\quad \varepsilon =\operatorname {cis} \left({\tfrac {2\cdot \pi }{n}}\right)}
.
Figuren i det følgende afsnit illustrerer desuden enhedsrøddernes beliggenhed i tilfælde
n
=
5
{\displaystyle n=5}
, hvor
ε
=
cis
(
2
⋅
π
5
)
=
cos
(
72
∘
)
+
sin
(
72
∘
)
⋅
i
{\displaystyle \varepsilon =\operatorname {cis} \left({\tfrac {2\cdot \pi }{5}}\right)=\cos(72^{\circ })+\sin(72^{\circ })\cdot \mathrm {i} }
.
Illustration af løsninger til komplekse ligninger af typen
z
n
=
c
{\displaystyle z^{n}=c}
. Grøn farve: Enhedscirklen. Rød farve: Løsninger til ligningen
z
5
=
1
{\displaystyle z^{5}=1}
(enhedsrødderne af grad 5). Blå farve: Løsninger til ligningen
z
5
=
−
11
+
3
⋅
i
{\displaystyle z^{5}=-11+3\cdot \mathrm {i} }
. Løsningspunkterne danner i begge tilfælde en regulær femkant.
Lad
c
=
r
⋅
cis
(
φ
)
{\displaystyle c=r\cdot \operatorname {cis} (\varphi )}
være et givet komplekst tal med modulus
r
{\displaystyle r}
og argument
φ
{\displaystyle \varphi }
. Vi søger alle løsninger til ligningen
z
n
=
c
n
∈
N
{\displaystyle z^{n}=c\quad n\in \mathbb {N} }
Dertil skriver vi også
z
{\displaystyle z}
på polær form,
z
=
|
z
|
⋅
cis
(
v
)
{\displaystyle z=|z|\cdot \operatorname {cis} (v)}
og anvender igen de Moivres formel (10) :
z
n
=
c
⇒
|
z
|
n
⋅
cis
(
n
⋅
v
)
=
r
⋅
cis
(
φ
)
{\displaystyle z^{n}=c\quad \Rightarrow \quad |z|^{n}\cdot \operatorname {cis} (n\cdot v)=r\cdot \operatorname {cis} (\varphi )}
Denne ligning er opfyldt, hvis
|
z
|
=
r
n
{\displaystyle |z|={\sqrt[{n}]{r}}\quad }
og
n
⋅
v
=
φ
+
2
⋅
π
⋅
p
{\displaystyle \quad n\cdot v=\varphi +2\cdot \pi \cdot p\quad }
eller
v
=
φ
n
+
2
⋅
π
n
⋅
p
{\displaystyle \quad v={\tfrac {\varphi }{n}}+{\tfrac {2\cdot \pi }{n}}\cdot p}
Ligningens
n
{\displaystyle n}
løsninger er derfor
z
=
r
n
⋅
cis
(
φ
n
+
2
⋅
π
n
⋅
p
)
p
∈
[
0
,
1
,
.
.
.
,
n
−
1
]
{\displaystyle z={\sqrt[{n}]{r}}\cdot \operatorname {cis} \left({\tfrac {\varphi }{n}}+{\tfrac {2\cdot \pi }{n}}\cdot p\right)\quad p\in [\;0,\;1,\;...,\;n-1]}
(12 )
Hvilke komplekse løsninger har ligningen
z
5
=
−
11
+
3
⋅
i
{\displaystyle z^{5}=-11+3\cdot \mathrm {i} }
?
For denne ligning er
r
=
(
−
11
)
2
+
3
2
=
130
{\displaystyle r={\sqrt {(-11)^{2}+3^{2}}}={\sqrt {130}}}
og
φ
=
arctanxy
(
−
11
,
3
)
=
2.875
341
=
164.745
∘
{\displaystyle \varphi =\operatorname {arctanxy} (-11,3)=2.875\;341=164.745^{\circ }}
, så
z
=
130
10
⋅
cis
(
0.575
068
+
2
⋅
π
5
⋅
p
)
p
∈
[
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
]
{\displaystyle z={\sqrt[{10}]{130}}\cdot \operatorname {cis} \left(0.575\;068+{\tfrac {2\cdot \pi }{5}}\cdot p\right)\quad p\in [\;0,\;1,\;2,\;3,\;4,]}
Ved udregning fås værdierne
p
{\displaystyle p}
z
p
{\displaystyle z_{p}}
0
{\displaystyle \quad 0\quad }
+
1.365
327
+
0.884
926
⋅
i
{\displaystyle \quad +1.365\;327+0.884\;926\cdot \mathrm {i} \quad }
1
{\displaystyle 1}
−
0.419
705
+
1.571
960
⋅
i
{\displaystyle -0.419\;705+1.571\;960\cdot \mathrm {i} }
2
{\displaystyle 2}
−
1.624
719
+
0.086
599
⋅
i
{\displaystyle -1.624\;719+0.086\;599\cdot \mathrm {i} }
3
{\displaystyle 3}
−
0.584
426
−
1.518
439
⋅
i
{\displaystyle -0.584\;426-1.518\;439\cdot \mathrm {i} }
4
{\displaystyle 4}
+
1.263
524
−
1.025
046
⋅
i
{\displaystyle +1.263\;524-1.025\;046\cdot \mathrm {i} }
I det komplekse plan danner de til
z
p
{\displaystyle z_{p}}
hørende punkter en regulær femkant, se figuren.
Her er
c
{\displaystyle c}
et vilkårligt komplekst tal. Ligningen kan løses i både kartesiske og polære koordinater:
Løsning i kartesiske koordinater
redigér
Vi sætter
z
=
x
+
y
⋅
i
{\displaystyle z=x+y\cdot \mathrm {i} }
og
c
=
a
+
b
⋅
i
{\displaystyle c=a+b\cdot \mathrm {i} }
, hvor
a
{\displaystyle a}
og
b
{\displaystyle b}
er kendte reelle tal. Opgaven er da, at finde
x
{\displaystyle x}
og
y
{\displaystyle y}
.
(
x
+
y
⋅
i
)
2
=
a
+
b
⋅
i
{\displaystyle (x+y\cdot \mathrm {i} )^{2}=a+b\cdot \mathrm {i} }
(
x
2
−
y
2
)
+
2
⋅
x
⋅
y
⋅
i
=
a
+
b
⋅
i
{\displaystyle (x^{2}-y^{2})+2\cdot x\cdot y\cdot \mathrm {i} =a+b\cdot \mathrm {i} }
{
x
2
−
y
2
=
a
2
⋅
x
⋅
y
=
b
{\displaystyle {\begin{cases}x^{2}-y^{2}=a\\2\cdot x\cdot y=b\end{cases}}}
Man må opdele i forskellige tilfælde:
a
=
0
∧
b
=
0
:
{\displaystyle \mathbf {a=0\land b=0:} }
(
x
2
=
y
2
)
∧
(
x
⋅
y
=
0
)
⇔
(
x
=
0
)
∧
(
y
=
0
)
⇔
z
=
0
{\displaystyle (x^{2}=y^{2})\land (x\cdot y=0)\,\Leftrightarrow \,(x=0)\land (y=0)\Leftrightarrow z=0}
a
=
0
∧
b
≠
0
:
{\displaystyle \mathbf {a=0\land b\neq 0:} }
x
2
=
y
2
⇔
(
x
=
y
)
∨
(
x
=
−
y
)
{\displaystyle x^{2}=y^{2}\,\Leftrightarrow \,(x=y)\lor (x=-y)}
b
>
0
:
{\displaystyle b>0:}
x
{\displaystyle x}
og
y
{\displaystyle y}
har samme fortegn, dvs.
y
=
x
{\displaystyle y=x}
:
2
⋅
x
2
=
b
{\displaystyle 2\cdot x^{2}=b}
⇔
{\displaystyle \,\Leftrightarrow \,}
(
x
=
b
2
=
y
)
∨
(
x
=
−
b
2
=
y
)
{\displaystyle \left(x={\sqrt {\frac {b}{2}}}=y\right)\lor \left(x=-{\sqrt {\frac {b}{2}}}=y\right)}
⇒
{\displaystyle \,\Rightarrow \,}
(
z
=
b
2
+
b
2
⋅
i
)
∨
(
z
=
−
b
2
−
b
2
⋅
i
)
{\displaystyle \left(z={\sqrt {\frac {b}{2}}}+{\sqrt {\frac {b}{2}}}\cdot \mathrm {i} \right)\lor \left(z=-{\sqrt {\frac {b}{2}}}-{\sqrt {\frac {b}{2}}}\cdot \mathrm {i} \right)}
b
<
0
:
{\displaystyle b<0:}
x
{\displaystyle x}
og
y
{\displaystyle y}
har modsat fortegn, dvs.
y
=
−
x
{\displaystyle y=-x}
:
−
2
⋅
x
2
=
b
{\displaystyle -2\cdot x^{2}=b}
⇔
{\displaystyle \,\Leftrightarrow \,}
(
x
=
−
b
2
=
−
y
)
∨
(
x
=
−
−
b
2
=
−
y
)
{\displaystyle \left(x={\sqrt {\frac {-b}{2}}}=-y\right)\lor \left(x=-{\sqrt {\frac {-b}{2}}}=-y\right)}
⇒
{\displaystyle \,\Rightarrow \,}
(
z
=
−
b
2
−
−
b
2
⋅
i
)
∨
(
z
=
−
−
b
2
+
−
b
2
⋅
i
)
{\displaystyle \left(z={\sqrt {\frac {-b}{2}}}-{\sqrt {\frac {-b}{2}}}\cdot \mathrm {i} \right)\lor \left(z=-{\sqrt {\frac {-b}{2}}}+{\sqrt {\frac {-b}{2}}}\cdot \mathrm {i} \right)}
a
≠
0
∧
b
=
0
:
{\displaystyle \mathbf {a\neq 0\land b=0:} }
2
⋅
x
⋅
y
=
0
⇒
(
x
=
0
)
∨
(
y
=
0
)
{\displaystyle 2\cdot x\cdot y=0\,\Rightarrow \,(x=0)\lor (y=0)}
.
a
>
0
:
{\displaystyle a>0:}
Så må
y
=
0
{\displaystyle y=0}
og
(
x
=
a
)
∨
(
x
=
−
a
)
{\displaystyle (x={\sqrt {a}})\lor (x=-{\sqrt {a}})}
dvs.
(
z
=
a
)
∨
(
z
=
−
a
)
{\displaystyle (z={\sqrt {a}})\lor (z=-{\sqrt {a}})}
a
<
0
:
{\displaystyle a<0:}
Så må
x
=
0
{\displaystyle x=0}
og
(
y
=
−
a
)
∨
(
y
=
−
−
a
)
{\displaystyle (y={\sqrt {-a}})\lor (y=-{\sqrt {-a}})}
dvs.
(
z
=
−
a
⋅
i
)
∨
(
z
=
−
−
a
⋅
i
)
{\displaystyle (z={\sqrt {-a}}\cdot \mathrm {i} )\lor (z=-{\sqrt {-a}}\cdot \mathrm {i} )}
a
≠
0
∧
b
≠
0
:
{\displaystyle \mathbf {a\neq 0\land b\neq 0:} }
Da
b
≠
0
{\displaystyle b\neq 0}
, må også
x
≠
0
{\displaystyle x\neq 0}
, så vi kan isolere
y
{\displaystyle y}
i den anden ligning,
y
=
b
2
⋅
x
{\displaystyle y={\frac {b}{2\cdot x}}}
, og indsætte dette i den første:
x
2
−
b
2
4
⋅
x
2
=
a
⇔
4
⋅
(
x
2
)
2
−
4
⋅
a
⋅
x
2
−
b
2
=
0
{\displaystyle x^{2}-{\frac {b^{2}}{4\cdot x^{2}}}=a\,\Leftrightarrow \,4\cdot (x^{2})^{2}-4\cdot a\cdot x^{2}-b^{2}=0}
.
Denne fjerdegradsligningen er en iklædt andengradsligning med
x
2
{\displaystyle x^{2}}
som ubekendt. Ligningens diskriminant er
d
=
(
4
⋅
a
)
2
−
4
⋅
4
⋅
(
−
b
)
=
16
⋅
(
a
2
+
b
2
)
=
16
⋅
|
c
|
2
{\displaystyle d=(4\cdot a)^{2}-4\cdot 4\cdot (-b)=16\cdot (a^{2}+b^{2})=16\cdot |c|^{2}}
.
Ifølge det forudsatte er
d
>
0
{\displaystyle d>0}
, så løsningerne er
x
2
=
4
⋅
a
±
4
⋅
|
c
|
8
=
1
2
⋅
a
±
1
2
⋅
|
c
|
{\displaystyle x^{2}={\frac {4\cdot a\pm 4\cdot |c|}{8}}={\tfrac {1}{2}}\cdot a\pm {\tfrac {1}{2}}\cdot |c|}
.
Da
|
c
|
>
a
{\displaystyle |c|>a}
, bliver højresiden negativ, hvis fortegnet
−
{\displaystyle -}
benyttes. Der er derfor kun én løsning for
x
2
{\displaystyle x^{2}}
og af den følger
y
2
{\displaystyle y^{2}}
:
x
2
=
1
2
⋅
(
|
c
|
+
a
)
y
2
=
x
2
−
a
=
1
2
⋅
(
|
c
|
−
a
)
{\displaystyle {\begin{array}{lcl}x^{2}&=&&&{\tfrac {1}{2}}\cdot (|c|+a)\\y^{2}&=&x^{2}-a&=&{\tfrac {1}{2}}\cdot (|c|-a)\end{array}}}
x
{\displaystyle x}
og
y
{\displaystyle y}
selv kan være positive eller negative, men ligningen
2
⋅
x
⋅
y
=
b
{\displaystyle 2\cdot x\cdot y=b}
viser, at deres produkt skal have samme fortegn som
b
{\displaystyle b}
. Fortegnet af et reelt tal
x
{\displaystyle x}
er giver ved signum -funktionen, der defineres ved
sign
(
x
)
=
{
−
1
for
x
<
0
0
for
x
=
0
1
for
x
>
0
{\displaystyle \operatorname {sign} (x)={\begin{cases}-1&{\text{ for }}x<0\\\;\;0&{\text{ for }}x=0\\\;\;1&{\text{ for }}x>0\end{cases}}}
Signum-funktionen er implementeret i de fleste programmerinssprog; i dansk Excel er den fordansket til "FORTEGN".
Vi kan nu opskrive ligningens løsning:
x
=
+
1
2
⋅
(
|
c
|
+
a
)
>
0
{\displaystyle x=+{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\cdot (|c|+a)}}>0}
:
{\displaystyle \quad :\quad }
y
{\displaystyle y}
skal have samme fortegn som
b
{\displaystyle b}
, dvs.
y
=
+
sign
(
b
)
⋅
1
2
⋅
(
|
c
|
−
a
)
{\displaystyle y=+\operatorname {sign} (b)\cdot {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\cdot (|c|-a)}}}
x
=
−
1
2
⋅
(
|
c
|
+
a
)
<
0
{\displaystyle x=-{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\cdot (|c|+a)}}<0}
:
{\displaystyle \quad :\quad }
y
{\displaystyle y}
skal have modsat fortegn af
b
{\displaystyle b}
, dvs.
y
=
−
sign
(
b
)
⋅
1
2
⋅
(
|
c
|
−
a
)
{\displaystyle y=-\operatorname {sign} (b)\cdot {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\cdot (|c|-a)}}}
Konklusion:
Da de tre første specialtilfælde også dækkes ind af den generelle formel, er løsningerne i alle situationer givet ved
z
=
±
(
1
2
⋅
(
|
c
|
+
a
)
+
sign
(
b
)
⋅
1
2
⋅
(
|
c
|
−
a
)
⋅
i
)
{\displaystyle z=\pm \left({\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\cdot (|c|+a)}}+\operatorname {sign} (b)\cdot {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\cdot (|c|-a)}}\cdot \mathrm {i} \right)}
(13 )
De to løsninger er hinandens modsatte tal.
z
2
=
c
=
−
96
−
40
⋅
i
{\displaystyle z^{2}=c=-96-40\cdot \mathrm {i} }
Her er
|
c
|
=
(
−
96
)
2
+
(
−
104
)
2
=
10816
=
104
{\displaystyle |c|={\sqrt {(-96)^{2}+(-104)^{2}}}={\sqrt {10816}}=104}
z
=
±
(
1
2
⋅
(
104
−
96
)
+
(
−
1
)
⋅
1
2
⋅
(
104
+
96
)
⋅
i
)
=
±
(
4
−
100
⋅
i
)
=
±
(
2
−
10
⋅
i
)
{\displaystyle z=\pm \left({\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\cdot (104-96)}}+(-1)\cdot {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\cdot (104+96)}}\cdot \mathrm {i} \right)=\pm ({\sqrt {4}}-{\sqrt {100}}\cdot \mathrm {i} )=\pm (2-10\cdot \mathrm {i} )}
(
z
=
2
−
10
⋅
i
)
∨
(
z
=
−
2
+
10
⋅
i
)
{\displaystyle (z=2-10\cdot \mathrm {i} )\,\lor \,(z=-2+10\cdot \mathrm {i} )}
Løsning i polære koordinater
redigér
Her kan man benytte resultatet fra afsnittet, der behandlede ligningen
z
n
=
c
{\displaystyle z^{n}=c}
:
z
=
r
⋅
cis
(
φ
2
+
π
⋅
p
)
p
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle z={\sqrt {r}}\cdot \operatorname {cis} \left({\tfrac {\varphi }{2}}+\pi \cdot p\right)\quad p\in [\;0,\;1\;]}
eller, da addition af
π
{\displaystyle \pi }
betyder en drejning af løsningen på
180
∘
{\displaystyle 180^{\circ }}
og dermed et fortegnsskift,
z
=
±
r
⋅
cis
(
φ
2
)
{\displaystyle z=\pm {\sqrt {r}}\cdot \operatorname {cis} \left({\tfrac {\varphi }{2}}\right)}
Denne metode giver løsningen ved færre regninger, men har den ulempe, at man skal bruge trigonometriske funktioner både ved bestemmelsen af argumentet
φ
{\displaystyle \varphi }
og ved brugen af
cis
{\displaystyle \operatorname {cis} }
.
Vi betragter igen ligningen
z
2
=
c
=
−
96
−
40
⋅
i
{\displaystyle z^{2}=c=-96-40\cdot \mathrm {i} }
for hvilken
r
=
|
c
|
=
104
{\displaystyle r=|c|=104}
og
φ
=
arg
(
c
)
=
−
157.380
135
∘
{\displaystyle \varphi =\arg(c)=-157.380\;135^{\circ }}
.
Løsningerne bliver derfor
z
=
±
104
⋅
(
cos
(
−
78.690
068
)
+
sin
(
−
78.690
068
)
⋅
i
)
{\displaystyle z=\pm {\sqrt {104}}\cdot (\cos(-78.690\;068)+\sin(-78.690\;068)\cdot \mathrm {i} )}
z
=
±
(
104
⋅
0.196
116
−
104
⋅
0.980
581
⋅
i
)
{\displaystyle z=\pm ({\sqrt {104}}\cdot 0.196\;116-{\sqrt {104}}\cdot 0.980\;581\cdot \mathrm {i} )}
z
=
±
(
2
−
10
⋅
i
)
{\displaystyle z=\pm (2-10\cdot \mathrm {i} )}
altså (naturligvis) samme resultat som ved regningen med kartesiske koordinater. Dog spiller afrundingsfejl en større rolle ved denne metode.
Rodsymboler og komplekse tal
redigér
For et vilkårligt ikke-negativt reelt tal,
x
{\displaystyle x}
, kan man definere tallets kvadratrod,
x
{\displaystyle {\sqrt {x}}}
, som det tal, der ganget med sig selv giver
x
{\displaystyle x}
:
∀
x
∈
R
∖
R
−
∃
!
y
∈
R
∖
R
−
:
y
=
x
⇔
y
2
=
x
{\displaystyle \forall \;x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {R} _{-}\;\exists !\;y\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {R} _{-}\;:\;y={\sqrt {x}}\quad \Leftrightarrow \quad y^{2}=x}
Som angivet med eksistens-kvantoren
∃
!
{\displaystyle \exists !}
er kvadratroden entydigt bestemt. Negative tal har ingen reel kvadratrod.
For de komplekse tal stiller sagen sig anderledes. Som vist i et tidligere afsnit , har alle komplekse tal, bortset fra
0
{\displaystyle 0}
, to forskellige (og modsatte) komplekse kvadratrødder. I eksempel 6 blev det vist, at
z
2
=
−
96
−
40
⋅
i
⇔
(
z
=
2
−
10
⋅
i
)
∨
(
z
=
−
2
+
10
⋅
i
)
{\displaystyle z^{2}=-96-40\cdot \mathrm {i} \quad \Leftrightarrow \quad (z=2-10\cdot \mathrm {i} )\,\lor \,(z=-2+10\cdot \mathrm {i} )}
.
Dette kunne også skrives
−
96
−
40
⋅
i
=
±
(
2
−
10
⋅
i
)
{\displaystyle {\sqrt {-96-40\cdot \mathrm {i} \,}}=\pm (2-10\cdot \mathrm {i} )}
,
hvor kvadratrodssymbolet nu bruges til at angive en flertydig størrelse. Men hvis denne notation anvendes på reelle tal, opstår der uheldige skrivemåder som [ 3]
25
=
±
5
{\displaystyle {\sqrt {25}}=\pm 5\,}
eller endog
7
=
±
7
{\displaystyle \,{\sqrt {7}}=\pm {\sqrt {7}}}
I denne ligning indeholder venstre side et komplekst, flertydigt kvadratrodssymbol, medens højre side benytter et reelt, entydigt kvadratrodssymbol.
Det er derfor uhensigtsmæssigt at benytte rodsymboler i forbindelse med komplekse tal.
Den komplekse andengradsligning
a
⋅
z
2
+
b
⋅
z
+
c
=
0
a
,
b
,
c
∈
C
,
a
≠
0
{\displaystyle a\cdot z^{2}+b\cdot z+c=0\quad a,b,c\in \mathbb {C} ,\quad a\neq 0}
kan omskrives med nøjagtig den samme fremgangsmåde, som i det reelle tilfælde til
(
2
⋅
a
⋅
z
+
b
)
2
=
d
≡
b
2
−
4
⋅
a
⋅
c
{\displaystyle (2\cdot a\cdot z+b)^{2}=d\equiv b^{2}-4\cdot a\cdot c}
hvor
d
{\displaystyle d}
som i det reelle tilfælde kaldes andengradsligningens diskriminant .
Lad nu
r
{\displaystyle r}
betegne den ene af de to løsninger til ligningen
r
2
=
d
{\displaystyle r^{2}=d}
. Som vist i forrige afsnit er den anden løsning det modsatte tal,
−
r
{\displaystyle -r}
. Andengradsligningen har da de to løsninger
(
z
=
−
b
+
r
2
⋅
a
)
og
(
z
=
−
b
−
r
2
⋅
a
)
{\displaystyle \left(z={\frac {-b+r}{2\cdot a}}\right)\quad {\text{og}}\quad \left(z={\frac {-b-r}{2\cdot a}}\right)}
(14 )
Bemærkning
Som vist kan rødder i andengradspolynomier udtrykkes ved hjælp af kvadratrødder. Det viser sig, at bestemmelse af rødder i tredje- og fjerdegradspolynomier også kan udtrykkes ved hjælp af rodsymboler. Men for ligninger af grad 5 eller højere er dette ikke generelt muligt. Dette blev første gang bevist af den norske matematiker Niels Henrik Abel .
Lad os løse den komplekse andengradsligning
(
1
−
i
)
⋅
z
2
−
4
⋅
z
+
9
+
19
⋅
i
=
0
{\displaystyle (1-\mathrm {i} )\cdot z^{2}-4\cdot z+9+19\cdot \mathrm {i} =0}
.
Vi identificerer
a
=
1
−
i
{\displaystyle a=1-\mathrm {i} }
,
b
=
−
4
{\displaystyle b=-4}
,
c
=
9
+
19
⋅
i
{\displaystyle c=9+19\cdot \mathrm {i} }
,
og beregner ligningens diskriminant til
d
=
b
2
−
4
⋅
a
⋅
c
=
(
−
4
)
2
−
(
4
−
4
⋅
i
)
⋅
(
9
+
19
⋅
i
)
=
16
−
36
−
76
⋅
i
+
36
⋅
i
−
76
=
−
96
−
40
⋅
i
{\displaystyle d=b^{2}-4\cdot a\cdot c=(-4)^{2}-(4-4\cdot \mathrm {i} )\cdot (9+19\cdot \mathrm {i} )=16-36-76\cdot \mathrm {i} +36\cdot \mathrm {i} -76=-96-40\cdot \mathrm {i} }
Løsningerne til ligningen
r
2
=
d
{\displaystyle r^{2}=d}
blev fundet i eksempel 7 og en af dem er
r
=
2
−
10
⋅
i
{\displaystyle r=2-10\cdot \mathrm {i} }
.
De to rødder bliver derfor
z
1
=
−
b
+
r
2
⋅
a
=
4
+
2
−
10
⋅
i
2
−
2
⋅
i
=
3
−
5
⋅
i
1
−
i
⋅
1
+
i
1
+
i
=
8
−
2
⋅
i
2
=
4
−
i
{\displaystyle z_{1}={\frac {-b+r}{2\cdot a}}={\frac {4+2-10\cdot \mathrm {i} }{2-2\cdot \mathrm {i} }}={\frac {3-5\cdot \mathrm {i} }{1-\mathrm {i} }}\cdot {\frac {1+\mathrm {i} }{1+\mathrm {i} }}={\frac {8-2\cdot \mathrm {i} }{2}}={\color {ForestGreen}4-\mathrm {i} }}
z
2
=
−
b
−
r
2
⋅
a
=
4
−
2
+
10
⋅
i
2
−
2
⋅
i
=
1
+
5
⋅
i
1
−
i
⋅
1
+
i
1
+
i
=
−
4
+
6
⋅
i
2
=
−
2
+
3
⋅
i
{\displaystyle z_{2}={\frac {-b-r}{2\cdot a}}={\frac {4-2+10\cdot \mathrm {i} }{2-2\cdot \mathrm {i} }}={\frac {1+5\cdot \mathrm {i} }{1-\mathrm {i} }}\cdot {\frac {1+\mathrm {i} }{1+\mathrm {i} }}={\frac {-4+6\cdot \mathrm {i} }{2}}={\color {ForestGreen}-2+3\cdot \mathrm {i} }}
.
Reelle funktioner kan beskrives med en funktionsforskrift
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
og illustreres grafisk i et
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
koordinatsystem, hvor
x
{\displaystyle x}
-aksen indeholder definitionsmængden og
y
{\displaystyle y}
-aksen bruges til billedmængden. Det samme kan ikke gøres med funktioner med komplekse variable,
w
=
f
(
z
)
{\displaystyle w=f(z)}
, for et komplekst tal optager jo allerede to dimensioner. I stedet kan en kompleks funktion illustreres med to koordinatsystemer, et
z
{\displaystyle z}
-system til definitionsmængden og et
w
{\displaystyle w}
-system til billedmængden.
Konjugering blev defineret i afsnittet om elementære regneregler . Ved udregning konstaterer man, at der gælder følgende regler for kompleks konjugering:
z
+
w
¯
=
z
¯
+
w
¯
{\displaystyle {\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}\!\ }
z
⋅
w
¯
=
z
¯
⋅
w
¯
{\displaystyle {\overline {z\cdot w}}={\overline {z}}\cdot {\overline {w}}\!\ }
|
z
¯
|
=
|
z
|
{\displaystyle \left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|}
z
+
z
¯
=
2
⋅
x
{\displaystyle z+{\bar {z}}=2\cdot x}
z
⋅
z
¯
=
z
¯
⋅
z
=
x
2
+
y
2
=
|
z
|
2
{\displaystyle z\cdot {\bar {z}}={\bar {z}}\cdot z=x^{2}+y^{2}=|z|^{2}}
z
¯
=
r
⋅
exp
(
φ
¯
⋅
i
)
=
r
⋅
exp
(
−
φ
⋅
i
)
{\displaystyle {\overline {z}}={\overline {r\cdot \exp(\varphi }}\cdot \mathrm {i} )=r\cdot \exp(-\varphi \cdot \mathrm {i} )}
Bemærk, at sum og produkt af
z
{\displaystyle z}
og
z
¯
{\displaystyle {\bar {z}}}
er reelle tal.
En kompleks lineær funktion har forskriften
f
(
z
)
=
a
⋅
z
+
b
,
a
∈
C
∈
{
0
}
,
b
∈
C
{\displaystyle f(z)=a\cdot z+b,\;a\in \mathbb {C} \in \{0\},\;b\in \mathbb {C} }
(Hvis
a
=
0
{\displaystyle a=0}
, bliver
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
en konstant funktion, der afbilder alle punkter i den komplekse plan i det komplekse tal
b
{\displaystyle b}
).
Specielt er
f
(
0
)
=
b
{\displaystyle f(0)=b}
f
(
1
)
=
a
+
b
{\displaystyle f(1)=a+b}
f
(
i
)
=
a
⋅
i
+
b
{\displaystyle f(\mathrm {i} )=a\cdot \mathrm {i} +b}
.
Illustration af den komplekse lineære funktion
f
(
z
)
=
a
⋅
z
+
b
{\displaystyle f(z)=a\cdot z+b}
, hvor
a
=
3
+
i
{\displaystyle a={\sqrt {3}}+\mathrm {i} }
og
b
=
2
+
i
{\displaystyle b=2+\mathrm {i} }
. Et net af enhedskvadrater i
z
{\displaystyle z}
-planet afbildes ved
f
{\displaystyle f}
i et andet kvadratisk net i
w
{\displaystyle w}
-planet. De tre komplekse tal
0
{\displaystyle 0}
,
1
{\displaystyle 1}
og
i
{\displaystyle \mathrm {i} }
samt afbildningens fikspunkt
z
∗
{\displaystyle z^{*}}
er i
z
{\displaystyle z}
-planet markeret med farvede prikker hhv. et sort kryds. Deres billeder i
w
{\displaystyle w}
-planet har de samme signaturer. Fikspunktet er defineret ved, at
f
(
z
∗
)
=
z
∗
{\displaystyle f(z^{*})=z^{*}}
, så det bliver som det eneste på sit oprindelige sted.
Dette illustreres på figuren med funktionen
f
(
z
)
=
(
3
+
i
)
⋅
z
+
(
2
+
i
)
{\displaystyle f(z)=({\sqrt {3}}+\mathrm {i} )\cdot z+(2+\mathrm {i} )}
, der også viser, hvordan et kvadratisk net i
z
{\displaystyle z}
-planet afbildes i et strakt, roteret og forskudt kvadratisk net i
w
{\displaystyle w}
-planet. Matematisk set er der tale om en ligedannethed .
Vi betragter først to specialtilfælde:
a
=
1
{\displaystyle a=1}
: Så er
f
(
z
)
=
z
+
b
{\displaystyle f(z)=z+b}
, dvs. funktionen foretager en parallelforskydning med
b
{\displaystyle b}
.
b
=
0
{\displaystyle b=0}
: Så er
f
(
z
)
=
a
⋅
z
{\displaystyle f(z)=a\cdot z}
. For kortheds skyld kalder vi funktionsværdien for
w
{\displaystyle w}
,
w
=
a
⋅
z
{\displaystyle w=a\cdot z}
.
Vi har da
|
w
|
=
|
a
|
⋅
|
z
|
{\displaystyle |w|=|a|\cdot |z|}
: Multiplikation ud fra (0, 0) med
|
a
|
{\displaystyle |a|}
.
arg
(
w
)
=
arg
(
a
)
+
arg
(
z
)
{\displaystyle \arg(w)=\arg(a)+\arg(z)}
: Rotation omkring (0,0) med
φ
=
arg
(
a
)
{\displaystyle \varphi =\arg(a)}
.
Herefter ser vi på det generelle tilfælde, hvor
a
≠
1
{\displaystyle a\neq 1}
:
Funktionen har da netop et fikspunkt
z
∗
{\displaystyle z^{*}}
defineret ved, at
f
(
z
∗
)
=
z
∗
{\displaystyle f(z^{*})=z^{*}}
:
a
⋅
z
∗
+
b
=
z
∗
⇔
b
=
(
1
−
a
)
⋅
z
∗
⇔
z
∗
=
b
1
−
a
{\displaystyle a\cdot z^{*}+b=z^{*}\quad \Leftrightarrow \quad b=(1-a)\cdot z^{*}\quad \Leftrightarrow \quad z^{*}={\frac {b}{1-a}}}
.
Betegner vi som ovenfor funktionsværdien med
w
{\displaystyle w}
, kan vi omskrive således:
w
=
a
⋅
z
+
b
=
a
⋅
(
z
−
z
∗
)
+
a
⋅
z
∗
+
b
=
a
⋅
(
z
−
z
∗
)
+
z
∗
{\displaystyle w=a\cdot z+b=a\cdot (z-z^{*})+a\cdot z^{*}+b=a\cdot (z-z^{*})+z^{*}}
w
−
z
∗
=
a
⋅
(
z
−
z
∗
)
{\displaystyle w-z^{*}=a\cdot (z-z^{*})}
Heraf fremgår, at
f
{\displaystyle f}
strækker og roterer som omtalt ovenover, men gør det centreret på fikspunktet
z
∗
{\displaystyle z^{*}}
. Det orange kvadrat, som vises i
z
{\displaystyle z}
-planen på figuren, afbildes ved
f
{\displaystyle f}
i det orange kvadrat i
w
{\displaystyle w}
-planet. Det sker ved
en strækning ud fra
z
∗
{\displaystyle z^{*}}
med det lineære forhold
|
a
|
=
(
3
)
2
+
1
2
=
2
{\displaystyle |a|={\sqrt {({\sqrt {3}})^{2}+1^{2}}}=2}
en rotation omkring
z
∗
{\displaystyle z^{*}}
på
arg
(
z
)
=
arctan
(
1
/
3
)
=
π
/
6
=
30
∘
{\displaystyle \arg(z)=\arctan \left(1/{\sqrt {3}}\right)=\pi /6=30^{\circ }}
Beregning af et fikspunkt
z
∗
{\displaystyle z^{*}}
For den komplekse lineære funktion på figuren er
a
=
3
+
i
{\displaystyle a={\sqrt {3}}+\mathrm {i} }
og
b
=
2
+
i
{\displaystyle b=2+\mathrm {i} }
. Heraf følger, at
z
∗
{\displaystyle z^{*}}
=
{\displaystyle \,=\,}
b
1
−
a
=
2
+
i
1
−
3
−
i
=
2
+
i
1
−
3
−
i
⋅
1
−
3
+
i
1
−
3
+
i
=
2
−
2
⋅
3
+
2
⋅
i
+
i
−
3
⋅
i
−
1
1
+
3
−
2
⋅
3
+
1
{\displaystyle {\frac {b}{1-a}}={\frac {2+\mathrm {i} }{1-{\sqrt {3}}-\mathrm {i} }}={\frac {2+\mathrm {i} }{1-{\sqrt {3}}-\mathrm {i} }}\cdot {\frac {1-{\sqrt {3}}+\mathrm {i} }{1-{\sqrt {3}}+\mathrm {i} }}={\frac {2-2\cdot {\sqrt {3}}+2\cdot \mathrm {i} +\mathrm {i} -{\sqrt {3}}\cdot \mathrm {i} -1}{1+3-2\cdot {\sqrt {3}}+1}}}
=
{\displaystyle \,=\,}
(
1
−
2
⋅
3
)
+
(
3
−
3
)
⋅
i
5
−
2
⋅
3
⋅
5
+
2
⋅
3
5
+
2
⋅
3
{\displaystyle {\frac {(1-2\cdot {\sqrt {3}})+(3-{\sqrt {3}})\cdot \mathrm {i} }{5-2\cdot {\sqrt {3}}}}\cdot {\frac {5+2\cdot {\sqrt {3}}}{5+2\cdot {\sqrt {3}}}}}
=
{\displaystyle \,=\,}
(
5
+
2
⋅
3
−
10
⋅
3
−
12
)
+
(
15
+
6
⋅
3
−
5
⋅
3
−
6
)
25
−
12
{\displaystyle {\frac {(5+2\cdot {\sqrt {3}}-10\cdot {\sqrt {3}}-12)+(15+6\cdot {\sqrt {3}}-5\cdot {\sqrt {3}}-6)}{25-12}}}
=
{\displaystyle \,=\,}
−
7
−
8
⋅
3
13
+
9
+
3
13
⋅
i
≈
−
1.604
339
+
0.825
542
⋅
i
{\displaystyle {\color {ForestGreen}{\frac {-7-8\cdot {\sqrt {3}}}{13}}+{\frac {9+{\sqrt {3}}}{13}}\cdot \mathrm {i} }\approx -1.604\,339+0.825\,542\cdot \mathrm {i} }
Kompleks eksponentialfunktion
redigér
Den reelle eksponentialfunktion
e
x
p
{\displaystyle \mathrm {exp} }
er defineret ved, at dens differentialkvotient er lig funktionen selv, altså
e
x
p
(
x
)
′
=
e
x
p
(
x
)
{\displaystyle \mathrm {exp} (x)'=\mathrm {exp} (x)}
Som konsekvens heraf er
exp
(
a
⋅
x
)
′
=
a
⋅
e
x
p
(
x
)
{\displaystyle \exp(a\cdot x)'=a\cdot \mathrm {exp} (x)}
Desuden opfylder
e
x
p
{\displaystyle \mathrm {exp} }
funktionalligningen
e
x
p
(
x
+
y
)
=
e
x
p
(
x
)
⋅
e
x
p
(
y
)
{\displaystyle \mathrm {exp} (x+y)=\mathrm {exp} (x)\cdot \mathrm {exp} (y)}
Eksponentialfunktionen med imaginært argument
redigér
Med baggrund i ovenstående resultat indfører man følgende definition:
Definition:
Eksponentialfunktionen med et imaginært argument defineres ved forskriften
exp
(
x
⋅
i
)
=
cos
(
x
)
+
sin
(
x
)
⋅
i
x
∈
R
{\displaystyle \exp(x\cdot \mathrm {i} )=\cos(x)+\sin(x)\cdot \mathrm {i} \quad x\in \mathbb {R} }
At denne definition er fornuftig bestyrkes af nedenstående egenskaber:
exp
(
x
⋅
i
)
⋅
exp
(
y
⋅
i
)
{\displaystyle \exp(x\cdot \mathrm {i} )\cdot \exp(y\cdot \mathrm {i} )}
=
{\displaystyle \,=\,}
(
cos
(
x
)
+
sin
(
x
)
⋅
i
)
⋅
(
cos
(
y
)
+
sin
(
y
)
⋅
i
)
{\displaystyle (\cos(x)+\sin(x)\cdot \mathrm {i} )\cdot (\cos(y)+\sin(y)\cdot \mathrm {i} )}
Ifølge definitionen
=
{\displaystyle \,=\,}
(
cos
(
x
)
⋅
cos
(
y
)
−
sin
(
x
)
⋅
sin
(
y
)
)
{\displaystyle (\cos(x)\cdot \cos(y)-\sin(x)\cdot \sin(y))}
+
{\displaystyle \,+\,}
(
cos
(
x
)
⋅
sin
(
y
)
+
sin
(
x
)
⋅
cos
(
y
)
)
⋅
i
)
{\displaystyle (\cos(x)\cdot \sin(y)+\sin(x)\cdot \cos(y))\cdot \mathrm {i} )}
Ifølge parentesregneregler
=
{\displaystyle \,=\,}
cos
(
x
+
y
)
+
sin
(
x
+
y
)
⋅
i
{\displaystyle \cos(x+y)+\sin(x+y)\cdot \mathrm {i} }
Ifølge additionsformler for
cos
{\displaystyle \cos }
og
sin
{\displaystyle \sin }
=
{\displaystyle \,=\,}
exp
(
(
x
+
y
)
⋅
i
)
{\displaystyle \exp((x+y)\cdot \mathrm {i} )}
Ifølge definitionen
Eksponentialfunktionens funktionalligning ,
exp
(
p
+
q
)
=
exp
(
p
)
⋅
exp
(
q
)
{\displaystyle \exp(p+q)=\exp(p)\cdot \exp(q)}
, er dermed også opfyldt for imaginære argumenter.
De elementære funktioner
sin
{\displaystyle \sin }
,
cos
{\displaystyle \cos }
og
exp
{\displaystyle \exp }
har følgende rækkeudviklinger gældende for alle
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
sin
(
x
)
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
x
7
7
!
+
.
.
.
{\displaystyle \sin(x)=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}+...}
cos
(
x
)
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
x
6
6
!
+
.
.
.
{\displaystyle \cos(x)=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}+...}
exp
(
x
)
=
1
+
x
1
!
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
x
4
4
!
+
x
5
5
!
+
.
.
.
{\displaystyle \exp(x)=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{x^{5} \over 5!}+...}
Hvis vi ønsker at kunne benytte disse også for komplekse tal, må der (da
i
2
=
−
1
{\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}
!) gælde at
exp
(
x
⋅
i
)
{\displaystyle \exp(x\cdot \mathrm {i} )}
=
{\displaystyle \,=\,}
1
+
x
1
!
⋅
i
−
x
2
2
!
−
x
3
3
!
⋅
i
+
x
4
4
!
+
x
5
5
!
⋅
i
.
.
.
{\displaystyle 1+{x \over 1!}\cdot \mathrm {i} -{x^{2} \over 2!}-{x^{3} \over 3!}\cdot \mathrm {i} +{x^{4} \over 4!}+{x^{5} \over 5!}\cdot \mathrm {i} ...}
=
{\displaystyle \,=\,}
(
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
+
.
.
.
)
+
(
x
1
!
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
.
.
.
)
⋅
i
{\displaystyle \left(1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}+...\right)+\left({x \over 1!}-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}...\right)\cdot \mathrm {i} }
=
{\displaystyle \,=\,}
cos
(
x
)
+
sin
(
x
)
⋅
i
{\displaystyle \cos(x)+\sin(x)\cdot \mathrm {i} }
=
{\displaystyle \,=\,}
c
i
s
(
x
)
{\displaystyle \mathrm {cis} (x)}
i overensstemmelse med ovenstående resultat.
Eksponentialfunktionen med komplekst argument
redigér
Vi ønsker, at funktionalligningen gældende for reel
exp
{\displaystyle \exp }
skal gælde generelt:
exp
(
x
+
y
⋅
i
)
=
exp
(
x
)
⋅
exp
(
y
⋅
i
)
=
exp
(
x
)
⋅
(
cos
(
y
)
+
sin
(
y
)
⋅
i
)
{\displaystyle \exp(x+y\cdot \mathrm {i} )=\exp(x)\cdot \exp(y\cdot \mathrm {i} )=\exp(x)\cdot (\cos(y)+\sin(y)\cdot \mathrm {i} )}
,
hvilket fører til følgende definition af
exp
{\displaystyle \exp }
for et vilkårligt komplekst tal
z
{\displaystyle z}
:
Definition:
Eksponentialfunktionen med et komplekst argument defineres ved forskriften
exp
(
z
)
=
exp
(
x
+
y
⋅
i
)
=
exp
(
x
)
⋅
(
cos
(
y
)
+
sin
(
y
)
⋅
i
)
{\displaystyle \exp(z)=\exp(x+y\cdot \mathrm {i} )=\exp(x)\cdot (\cos(y)+\sin(y)\cdot \mathrm {i} )}
I nogle fremstillinger af de komplkse tal[ 2] vælger man i stedet at definere
exp
(
z
)
{\displaystyle \exp(z)}
som den ovenfor viste uendelige sum, altså
exp
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
z
n
n
!
=
1
+
z
1
!
+
z
2
2
!
+
z
3
3
!
+
.
.
.
{\displaystyle \exp(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}=1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+...}
Men det kræver et større forarbejde at vise, at denne sum er veldefineret, dvs. at den konvergerer for alle
z
∈
C
{\displaystyle z\in \mathbb {C} }
.
Funktionalligningen for eksponentialfunktionen
exp
{\displaystyle \exp }
kendt fra de reelle tal
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
, forbliver gyldig ved udvidelsen til de komplekse tal
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
, dvs. der gælder
exp
(
z
+
w
)
=
exp
(
z
)
⋅
exp
(
w
)
{\displaystyle \exp(z+w)=\exp(z)\cdot \exp(w)}
for alle
z
,
w
∈
C
{\displaystyle z,w\in \mathbb {C} }
Af definitionen fremgår også, at
exp
(
z
)
≠
0
{\displaystyle \exp(z)\neq 0}
for alle
z
∈
C
{\displaystyle z\in \mathbb {C} }
Udregningen
exp
(
z
+
2
⋅
π
⋅
i
)
{\displaystyle \exp(z+2\cdot \pi \cdot \mathrm {i} )}
=
{\displaystyle \,=\,}
exp
(
z
)
⋅
exp
(
2
⋅
π
⋅
i
)
{\displaystyle \exp(z)\cdot \exp(2\cdot \pi \cdot \mathrm {i} )}
=
{\displaystyle \,=\,}
exp
(
z
)
⋅
(
cos
(
2
⋅
π
)
+
sin
(
2
⋅
π
)
⋅
i
)
{\displaystyle \exp(z)\cdot (\cos(2\cdot \pi )+\sin(2\cdot \pi )\cdot \mathrm {i} )}
=
{\displaystyle \,=\,}
exp
(
z
)
⋅
(
1
+
0
⋅
i
)
=
exp
(
z
)
{\displaystyle \exp(z)\cdot (1+0\cdot \mathrm {i} )=\exp(z)}
viser, at
exp
(
z
)
{\displaystyle \exp(z)}
er periodisk med en imaginær periode på
2
⋅
π
⋅
i
{\displaystyle 2\cdot \pi \cdot \mathrm {i} }
.
Geometrisk betyder det, at alle komplekse tal, som i den komplekse talplan ligger på en linje parallel med den imaginære akse og med en indbyrdes afstand på
2
⋅
π
{\displaystyle 2\cdot \pi }
ved
exp
{\displaystyle \exp }
afbildes i det samme tal. Med andre ord er
exp
{\displaystyle \exp }
ikke injektiv og har derfor ikke nogen invers funktion.
Den komplekse funktion
exp
{\displaystyle \exp }
afbilder enhver af de grå striber
S
n
,
n
∈
Z
,
{\displaystyle S_{n},n\in \mathbb {Z} ,}
med højden
2
⋅
π
{\displaystyle 2\cdot \pi }
på den komplekse plan. Komplekse tal i
z
{\displaystyle z}
-planet med en indbyrdes forskel på
2
⋅
π
⋅
i
{\displaystyle 2\cdot \pi \cdot \mathrm {i} }
afbildes som vist med pile i samme punkt i
w
{\displaystyle w}
-planet. De to pile tegnet med cyan og magenta farve viser, hvis de vendes om, hvorden den komplekse logaritmefunktion
Log
{\displaystyle \operatorname {Log} }
afbilder komplekse tal ind i striben
S
0
{\displaystyle S_{0}}
.
Illustrationen viser med grå farver strimler med en bredde på
2
⋅
π
{\displaystyle 2\cdot \pi }
. Strimlerne
S
n
{\displaystyle S_{n}}
karakteriseres med et helt tal
n
{\displaystyle n}
og defineres som
S
n
=
{
z
=
x
+
y
⋅
i
|
(
2
⋅
n
−
1
)
⋅
π
≦
I
m
(
z
)
<
(
2
⋅
n
+
1
)
⋅
π
}
n
∈
N
{\displaystyle S_{n}=\{z=x+y\cdot \mathrm {i} \,|\,(2\cdot n-1)\cdot \pi \,\leqq \,\mathrm {Im} \,(z)\,<\,(2\cdot n+1)\cdot \pi \}\quad n\in \mathbb {N} }
Når man vil undersøge, hvordan
exp
{\displaystyle \exp }
afbilder
z
{\displaystyle z}
-planet ind i
w
{\displaystyle w}
-planet, kan man derfor begrænse sig til en strimmel af bredden
2
⋅
π
{\displaystyle 2\cdot \pi }
, for eksempel strimlen
S
0
=
{
x
+
y
⋅
i
|
−
π
≦
y
<
+
π
}
{\displaystyle S_{0}=\{x+y\cdot \mathrm {i} \,|\,-\pi \,\leqq y\,<\,+\pi \}}
Linjer i denne strimmel, som er parallelle med den reelle akse og som har afstanden
y
∗
{\displaystyle y^{*}}
(regnet med fortegn), kan beskrives med parameterfremstillingen
z
=
t
+
y
∗
⋅
i
t
∈
R
{\displaystyle z=t+y^{*}\cdot \mathrm {i} \quad t\in \mathbb {R} }
.
Et punkt
z
{\displaystyle z}
på linjen afbildes ved
exp
{\displaystyle \exp }
i punktet
w
=
exp
(
z
)
=
cos
(
y
∗
)
⋅
exp
(
t
)
+
sin
(
y
∗
)
⋅
exp
(
t
)
{\displaystyle w=\exp(z)=\cos(y^{*})\cdot \exp(t)+\sin(y^{*})\cdot \exp(t)}
.
Når parameteren
t
{\displaystyle t}
gennemløber intervallet
]
−
∞
;
∞
[
{\displaystyle ]\,-\infty ;\infty \,[}
, gennemløber billedpunktet en åben halvlinie gående ud fra
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,\,0)}
under vinklen
y
∗
{\displaystyle y^{*}}
.
Liniestykker i denne strimmel, som er parallelle med den imaginære akse og som har afstanden
x
∗
{\displaystyle x^{*}}
(regnet med fortegn), kan beskrives med parameterfremstillingen
z
=
x
∗
+
t
⋅
i
t
∈
[
−
π
;
π
[
{\displaystyle z=x^{*}+t\cdot \mathrm {i} \quad t\in [\,-\pi ;\pi [}
.
Et punkt
z
{\displaystyle z}
på liniestykket afbildes ved
exp
{\displaystyle \exp }
i punktet
w
=
exp
(
z
)
=
exp
(
x
∗
)
⋅
cos
(
t
)
+
exp
(
x
∗
)
⋅
sin
(
t
)
{\displaystyle w=\exp(z)=\exp(x^{*})\cdot \cos(t)+\exp(x^{*})\cdot \sin(t)}
.
Når parameteren
t
{\displaystyle t}
gennemløber intervallet
[
−
π
;
π
[
{\displaystyle [\,-\pi ;\pi \,[}
, gennemløber billedpunktet en cirkel med centrum i
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,\,0)}
og radius
exp
(
x
∗
)
{\displaystyle \exp(x^{*})}
. Disse forhold illustreres på nedenstående figur.
Illustration af den komplekse eksponentialfunktions afbildning af det komplekse plan,
w
=
exp
(
z
)
{\displaystyle w=\exp(z)}
. Til venstre :
z
{\displaystyle z}
-planet med de tre komplekse tal 0, 1, og
i
{\displaystyle \mathrm {i} }
, et kvadratisk net med maskestørrelse 1, en del af den vandrette stribe
−
π
<
Im
(
z
)
<
+
π
{\displaystyle -\pi <\operatorname {Im} (z)<+\pi }
(markeret med en lysegrå baggrund) samt to rektangler med grøn og magenta farve. Til højre : Exp-billederne af disse objekter: Vandrette linjer afbildes i halvlinier, som udgår fra
0
{\displaystyle 0}
, lodrette i cirkler med centrum i
0
{\displaystyle 0}
. De danner kurveskarer, som lokalt står vinkelret på hinanden. Tallet
w
=
0
{\displaystyle w=0}
er som det eneste ikke et billedpunkt.
Som vist i forrige afsnit er der komplekse eksponentialfunktion
exp
{\displaystyle \exp }
ikke injektiv, idet den afbilder enhver af striberne
S
i
{\displaystyle S_{i}}
ind i de komplekse tal. Den har derfor ikke nogen invers (omvendt) funktion. Men hvis man begrænser dens definitionsmængde til én af disse striber, bliver den invertérbar. Hvis man begrænser sig til hovedstriben
S
0
≡
{
z
|
−
π
≦
I
m
(
z
)
)
<
π
}
{\displaystyle S_{0}\equiv \{z|-\pi \leqq \mathrm {Im} \,(z))<\pi \}}
kan man regne sig frem til en forskrift for den inverse funktion[ 3] . Betegner vi den begrænsede udgave af eksponentialfunktionen med
exp
0
{\displaystyle \exp _{0}}
og dens inverse funktion med
Log
{\displaystyle \operatorname {Log} }