Kasteparabel

Broom icon.svgDer er ingen kildehenvisninger i denne artikel, hvilket er et problem.
Du kan hjælpe ved at angive kilder til de påstande, der fremføres. Hvis ikke der tilføjes kilder, vil artiklen muligvis blive slettet.
Question book-4.svg
Vandet i et springvand danner en parabel.

Kasteparablen er vejen, en genstand følger tæt på jordens overflade - fx ved et kast. Parablen gælder, når kun tyngdekraften virker på genstanden, mens luftmodstand ignoreres. Problemet kaldes også for det skrå kast.

ParablenRediger

For et legeme der skydes af sted fra startpunktet   med startfarten   og affyringsvinklen   i forhold til vandret ( -retningen), er kasteparablen givet ved

 

hvor   er tyngdeaccelerationen. Her bevæger legemet sig i  -planet, og tyngdekraften virker modsat  -retningen.

Udledning af parablenRediger

Når formlen for kasteparablen udledes, tages luftmodstanden ikke i betragtning, da den umuliggør både en parabel og den analytiske metode i det hele taget – se også afsnittet om det skrå kast ved luftmodstand. Dette er en god model, så længe luftmodstanden er meget lille i forhold til tyngdekraften.

Kasteparablen beskriver et legeme, der bliver sendt afsted uden luftmodstand ved en given vinkel,  , i forhold til vandret; denne vinkel kaldes elevationen. Legemet har en given starthastighed   givet ved

 

Så snart legemet er sendt af sted, er det ikke påvirket af andre kræfter end tyngdekraften. Tyngdeaccelerationen er lodret og nedadrettet. Derfor må hastigheden i x-aksens retning være konstant og givet ved

 

På samme måde kan legemets position på et givent tidspunkt   bestemmes:

 

hvor   er positionen til tiden  .

Accelerationen i lodret plan er en konstant, negativ acceleration   jf. Galileis faldlov, og bevægelsen i y-aksens retning er derfor:

 

og den tilsvarende position er:

 

hvor   er positionen til tiden  .

Den samlede hastighed som funktion af tiden er altså:

 

og positionen   som funktion af tiden er:

 

At kastebanen har form som en matematisk parabel kan ikke umiddelbart ses ud fra dette. For at genkende parablen, skal  -koordinaten udtrykkes som funktion af   i stedet for  . Først kan   isoleres i udtrykket for  :

 

Dette indsættes i formlen for  -koordinaten:

 

Det ses, at leddene foran   og   udelukkende består af konstanter, og dermed er udtrykket for en parabel.

Hvis bevægelsen starter i  , reducerer kasteparablen til

 

og det bliver mere tydeligt, at det er en parabel.

RækkeviddeRediger

Kasteparablens praktiske styrke er, at den muliggør beregning af, hvor langt et projektil kan nå.

KastelængdeRediger

 
Formen af kasteparablen ændrer sig med vinklen, der kastes med. Læg mærke til, at den vandrette afstand i affyringshøjden er størst ved en vinkel på 45°.

Ovenstående udtryk for kasteparablen giver al den nødvendige information til at beregne hvor langt og hvor højt et legeme vil bevæge sig. For enkelthedens skyld, antages det at startpositionen er  .

Det første man kan beregne er hvornår legemet rammer jorden. Denne situation svarer til at kasteparablen skærer x-aksen, dvs.  ,

 

som løses ved brug af standardløsningsformlen for nulpunkter i et andengradspolynomium,

 

Løsningen   giver bare skæringen med y-aksen i startpunktet  , og er derfor ikke relevant. Den anden løsning giver derimod den maksimale kastelængde,

 

hvor det er brugt, at

 

Hvis   skal være størst muligt, skal  . Da  , må den optimale kastevinkel være halvdelen af  :

 .

Dette resultat ændrer sig, hvis genstanden lander i en anden højde, end den kastes fra, for eksempel i et spydkast eller kuglestød.

KastehøjdeRediger

Der, hvor legemet er højest oppe, kan findes ved at bruge symmetri. Parablen er symmetrisk omkring toppunktet, dvs. der hvor legemet vender retning og har opnået sin maksimale højde. Dette betyder, at x-værdien for toppunktet ligger midt mellem parablens skæringer med x-aksen,

 

Herfra findes højden i dette punkt, ved at indsætte   i udtrykket for  ,

 

Heraf ses det, at den maksimale højde nås ved et lodret kast, dvs. med en affyringsvinkel på  , da  . Den maksimale højde er da givet ved:

 

 

 

 

 

(1)

hvor   er lagt til som en arbitrær starthøjde.

Generel rækkeviddeRediger

 
Illustration af området som kan rammes af et projektil, hvis affyringsvinklen varieres. I illustrationen bruges   og  .

Hvis et projektil kan sendes afsted med en maksimal startfart, men med forskellige vinkler, er der et helt område i  -planet, som kan rammes af projektilet. Dette område er afgrænset af kasteparablens indhylningskurve.

En funktion   lig med nul kan opstilles:

 

Den afledte med hensyn til   er da:

 

Dermed er   givet ved:

 

eller

 

Dette indsættes i udtrykket for  , og   isoleres:

 

Dette er indhylningskurven.

Beregning af hastighedenRediger

Den resulterende hastighed kan beregnes ud fra x-hastigheden og y-hastigheden. Da der er tale om vektorer, kan man tegne kræfternes parallelogram, der dog ikke har noget med kræfter at gøre i denne anvendelse.

Da hastighederne har en x-retning og en y-retning, må de være vinkelret på hinanden. Dermed danner de med den resulterende hastighed en retvinklet trekant, hvor x-hastigheden er den ene katete, y-hastigheden er den anden katete, og den resulterende hastighed er hypotenusen. Ifølge den pythagoræiske læresætning har man at

 

Med de tidligere fundne udtryk for x-hastigheden og y-hastigheden har man:

 

KorrektionerRediger

Kasteparablen er en simpel model og kan forbedres ved at ændre antagelserne. Det følgende præsenterer korrektioner til kasteparablen.

LuftmodstandRediger

  Hovedartikel: Luftmodstand.

En af de meste praktiske korrektioner er inklusion af luftmodstand, der generelt gør et projektils rækkevidde kortere.

Newtonsk tyngdekraftRediger

  Hovedartikel: Newtonsk gravitation.

For kasteparablen antages det, at det kastede objekt er tæt på jordoverfladen, og at tyngdeaccelerationen derfor kan betragtes som konstant. For større afstande over jordoverfladen beskrives gravitionen dog bedre af newtonsk tyngdekraft:

 

hvor   er den universelle gravitationskonstant,   er Jordens masse,   er afstanden til Jordens centrum, og   angiver retningen væk fra Jorden. Tilsvarende er den potentielle energi:

 

Hvis   er Jordens radius, er tyngdeaccelerationen i kasteparablen givet ved:

 

Lodret kastRediger

Betydningen af Newtonsk tyngdekraft er lettest at vise med et lodret kast. Ligning 1 kan udledes ved at sætte den kinetiske energi i starten til at være lig ændringen i potentiel energi fra start til top. Derved fås:

 

Tilsvarende udledning er mulig med potentialet i Newtonsk tyngdekraft. Ændringen i potentiel energi er da:

 

hvor   er målt for jordoverfladen, og   er Jordens radius.

Dette sættes lig den kinetiske energi, og   isoleres:

 
 
Højden for at lodret kast som funktion af startfarten. Plottet sammenligner Galileis faldlov (kasteparablen) med Newtons tyngdekraft. Det ses, at de to modeller stemmer overens for små værdier af startfarten.

Dette udtryk kan forsimples lidt ved at dividere med   og indsætte tyngdeaccelerationen:

 

Hvis   er nul, bliver udtrykket simplere:

 

For en lille startfart reducerer udtrykket til:

 

hvilket stemmer overens med kasteparablen. Højden divergerer dog, når nævneren går mod nul. Dette sker ved en fart   givet ved:

 

Dette er undvigelseshastigheden og er den lavest mulige fart, der skal til for at forlade Jorden. Da tyngdeaccelerationen ved kasteparablen er konstant, har den model ikke nogen undvigelseshastighed.

Skråt kastRediger

  Hovedartikel: Keplers love.
 
Et projektil sendes af sted med en sådan fart, at det går i et elliptiske kredsløb omkring Jorden. Dette er ikke beskrevet af kasteparablen.

For et skråt kast generelt, hvor hastigheden ikke overstiger undvigelseshastigheden, er kasteparablen egentlig en approksimation af en del af et elliptisk kredsløb beskrevet med Keplers love.