Matematik

talvidenskab
(Omdirigeret fra Matematisk)

Matematik (fra oldgræsk μάθημα, máthēma: det jeg lærte, at lære[1]; μαθηματικός mathēmatikós: glad for at lære[1]) er en videnskab som studerer sådanne emner som mængde (tal og aritmetik),[2] struktur (algebra),[3] rum (geometri)[2] og ændring (matematisk analyse).[4][5][6] Der findes ikke nogen generelt accepteret definition for matematisk videnskab.[7][8]

Matematiklærer ved tavlen.
Eksempel på sammenhæng mellem algebra og geometri.
Mandelbrotmængden er et eksempel på en fraktal.

Matematikere opsøger og anvender mønstre[9][10] til at formulere nye formodninger; de afgør om formodningerne er falske eller sande ved hjælp af matematiske beviser. Når matematiske strukturer viser sig at være gode modeller af virkelige fænomener, kan matematisk tænkning bruges til bedre at beskrive eller forudsige naturen.

Mennesker har praktiseret matematik lige så langt tilbage i historien som man har skriftlige optegnelser. Gennem brug af abstraktion og logik udviklede matematik sig fra grundlæggende optælling, udregning og opmåling, samt gennem studier af former og bevægelser for fysiske genstande. Det var græske matematikere, som var de første til at bruge strengt logisk tænkning, mest berømt i Euklids Elementer.[11] Frem til Renæssancen udviklede det matematiske fag sig kun langsomt, men de mange nye videnskabelige opdagelser gav på den tid næring til en mængde matematiske studier og ny indsigt, en tendens der er fortsat helt til i dag.[12] I nyere tid har man på baggrund af banebrydende arbejder inden for grundlæggende matematik, af fx Giuseppe Peano (1858–1932) og David Hilbert (1862–1943), fået den faglige tilgang, at sandhed afdækkes gennem strengt logisk deduktion ud fra passende aksiomer og definitioner.

Matematik anvendes inden for mange fag, fx naturvidenskab, ingeniørvidenskab, lægevidenskab, økonomi og og socialvidenskab. Inden for anvendt matematik har underdiscipliner som statistik og spilteori vokset sig store. Matematikere arbejder gerne inden for ren matematik (matematik for matematikkens skyld, dvs uden praktisk anvendelse for øje), men forskningsresultater inden for ren matematik har ofte senere fået praktisk anvendelse.[13][14]

DefinitionRediger

Matematik er et fag, der har eksisteret i 5.000 år, det har ry for at være tørt og kedeligt, svært og utilgængeligt, abstrakt, virkeligheds- og menneskefjernt, ja nogle vil måske endda mene menneskefjendsk.

– matematiker Tinne Hoff Kjeldsen[15]

Matematikere er en slags franskmænd: snakker du med dem, oversætter de til deres eget sprog, og så er det straks noget helt andet.

Matematikken er en deduktiv og abstrakt videnskab, som bygger på logiske metoder. I den moderne definition er det undersøgelsen af aksiomatisk definerede abstrakte strukturer ved brug af logik, læren om sandt og falsk, som er det fælles udgangspunkt.[kilde mangler] De specifikke strukturer, der undersøges, har ofte deres udgangspunkt i naturvidenskaben, oftest i fysikken. Men i modsætning til naturvidenskaben beskriver matematikken en uvirkelig ideel verden, hvor for eksempel rette eller parallelle linjer findes modsat den virkelige verden. Matematikere definerer og undersøger også strukturer udelukkende af hensyn til matematikkens udvikling af egne regler, for eksempel fordi de finder ud af, at en struktur giver en samlende generalisering, eller at der findes et værktøj, der kan hjælpe i flere forskellige grene af matematikken.[kilde mangler]

Der findes dog ikke nogen alment accepteret definition på, hvad matematik er.[7][8] Aristoteles definerede faget som "videnskaben om størrelser", og denne definition var fremherskende frem til 1700-tallet.[17] Men da den matematiske forskning i løbet af 1800-tallet i stigende grad blev præget af logisk strenghed og desuden begyndte at opdyrke nye felter som gruppeteori og projektiv geometri, som ikke primært handler om målelige størrelser, begyndte der blandt matematikere og filosoffer at dukke en række nye definitioner op.[18] I dag arbejder man inden for matematisk filosofi med tre overordnede måder at definere faget på, nemlig en logicistisk, som anser matematik for at høre under logikken, en intuitionistisk, som lægger vægt på de tankerækker og tankebaner, som matematikere følger i deres arbejde med at opnå ny indsigt, samt en formalistisk, hvor det væsentlige er hvordan man håndterer matematiske symboler efter visse grundantagelser. Man er dog langtfra enige om, hvilken af disse overordnede måder giver den bedste forståelse af matematikkens natur.[19]

Ganske mange matematikere er ligeglade med, hvordan matematik skal defineres, eller mener at det er umuligt at gøre.[7] Der er heller ikke enighed om, hvorvidt matematik er videnskab eller kunst.[8] Nogle bruger den simple definition, at "matematik er det som matematikere laver".[7]

HistorieRediger

 
Det var den italienske matematiker Leonardo Fibonacci, som i begyndelsen af 1200-tallet indførte vores nuværende talsystem i Europa, et system som indiske matematikere havde udviklet omkring 1.000 år tidligere, og som den arabiske verden tog til sig i 800-tallet.[20]
  Uddybende artikel: Matematikkens historie

Historisk set er matematikken opstået ud fra behovet for at lave beregninger i handel, for at opmåle land og for at forudsige astronomiske begivenheder. Disse tre behov kan groft relateres til en bred underopdeling af matematikken i studiet af algebra, rum og ændring.

En vigtig del af grundlaget for den matematiske videnskab blev lagt i antikkens Grækenland, hvor især Euklids lærebog Elementerne fra omkring år 300 f.Kr. skulle vise sig at få kolossal betydning for matematikundervisningen helt frem til engang i 1900-tallet.[21] Bogen er en samling af grundlæggende definitioner, samt udledninger af matematiske objekter og begreber baseret på disse definitioner, udledninger baseret udelukkende på logisk-deduktiv bevisførelse. Herved sikres, at hvis udgangspunktet for en udledning er sand, så bliver resultatet det også. Matematik kom herved til at fremstå som en videnskab som fremlagde absolutte sandheder.[22]

I antikkens Grækenland anså man matematikken for at omhandle og beskrive virkeligheden, og denne forestilling holdt sig til langt op i 1800-tallet. Men nye matematiske opdagelser, bl.a. Cantors arbejde inden for mængdelære med uendelige mængder og Gauss' erkendelse af, at Euklids bevis for det såkaldte parallelpostulat var problematisk, førte til nye måder at anskue matematikken på. Cantors arbejde med uendelige mængder viste sig at medføre en logisk modstrid, som gjorde det nødvendigt at omdefinere aksiom-begrebet, så det fra at udtrykke en absolut sandhed om virkeligheden i stedet blot skulle være fri for modsigelser og ikke længere nødvendigvis beskrive virkeligheden.[23] Gauss' arbejde med geometri førte til udvikling af den ikke-euklidiske geometri, hvor man fx godt kan have flere parallelle linjer gående gennem samme punkt og hvor vinkelsummen i en trekant ikke altid er 180 grader,[24] geometriske egenskaber som senere viste sig anvendelige i Einsteins relativitetsteori.[25]

Udspring, anvendelighed og skønhedRediger

 
Kurveintegraler kan fx bruges til at beregne sværhedsgraden af ruten for et cykelløb.

Matematik er i tidens løb udsprunget af en række forskellige praktiske problemer, såsom handel, landmåling, arkitektur og astronomi. I dag kan alle videnskaber fremvise problemstillinger, som kan løses ved hjælp af matematik, og den matematiske videnskab skaber også selv løbende nye sådanne problemstillinger. Det var f.eks. ved at kombinere fysisk forståelse med matematisk logik at fysikeren Richard Feynman indførte brugen af kurveintegraler inden for kvantemekanik. Strengteorien, som forsøger at give en samlet beskrivelse af universets opbygning vha de fire fundamentale naturkræfter, er på lignende vis en stadig inspirationskilde til ny matematisk indsigt.[26]

Noget matematik har kun relevans inden for de områder, hvor den er udviklet, og her kan den bruges til at opnå større indsigt. Men ofte har matematisk indsigt udviklet inden for ét område vist sig anvendelig inden for andre områder. Man skelner her ofte mellem ren matematik og anvendt matematik, men erkendelser inden for den rene matematik viser sig ofte senere at kunne anvendes i praksis, som fx talteori inden for kryptografi.

Den kendsgerning at selv den 'reneste' matematik ofte har praktiske anvendelsesmuligheder har Eugene Wigner kaldt "matematikkens urimelige effektivitet".[14] Som på andre områder har den megen ny videnskabelige indsigt den senere tid ført til en specialisering, så at matematik i dag kan opdeles i flere hundrede underdiscipliner.[27] Inspireret af områder uden for matematikken har mange discipliner inden for anvendt matematik udviklet sig til selvstændige discipliner, såsom sandsynlighedsregning, statistik, operationsanalyse og datalogi.

Euklids bevis for, der er uendeligt mange primtal
- oprindeligt publiceret i hans værk Elementer:[28][29]

Betragt en liste med et vilkårligt, men endeligt antal primtal p1p2, ..., pn. Hvis P er produktet af alle primtal på listen: P = p1p2...pn, og det antages at q = P + 1, så er q enten et primtal eller ej:

  • Hvis q er et primtal, findes der mindst ét primtal, som ikke er på listen.
  • Hvis q ikke er et primtal, må der findes en primtalsfaktor p som går op i q. Stod denne faktor p på vores liste, ville den gå op i P (idet P er produktet af alle tal i listen); men p går som sagt også op i P + 1 = q. Hvis p både går op i P og q, så må p også gå op i forskellen mellem de to,[a] som er (P + 1) − P eller 1. Da intet primtal går op i 1, står p ikke på listen. Dermed må der findes yderligere mindst ét primtal.

Hermed er bevist, at der for enhver liste med endeligt mange primtal findes endnu et primtal.

For mange matematisk interesserede er der et aspekt af skønhed knyttet til matematik, og man beskriver faget med udtryk som elegance, æstetik og indre skønhed, foruden enkelhed og almengyldighed. Man finder skønhed i et enkelt og elegant bevis, som fx Euklis bevis for, at der er uendelig mange primtal, eller en snild metode til at øge hastigheden af udregninger, som fx Fast Fourier Transform. Matematikeren G. H. Hardy har udtrykt, at dette aspekt af skønhed i sig selv er nok til at retfærdiggøre studiet af ren matematik, en skønhed der bl.a. kan beskrives med ord som betydning, uforudsethed, uundgåelighed og økonomi.[30]

Matematisk forskning søger ofte at afdække afgørende træk ved et matematisk objekt. Det videnskabelige trofæ man stræber efter er at kunne formulere en sætning, der karakteriserer objektet ud fra disse træk. Eksempler på særligt kortfattede og åbenbarende matematiske bevisførelser er samlet i bogen Proofs from THE BOOK.[31]

Den popularitet, som underholdningsmatematik nyder, er et tegn på, at mange ynder at sysle for sjov med matematiske opgaver. Omvendt støder filosoffer stadig på problemer inden for matematikkens filosofi, fx vedrørende det matematiske bevis' væsen.[32]

Notation, sprog og strenghedRediger

 
Leonhard Euler var ophavsmand til en stor del af vor tids matematiske notation.

Mange af de symboler og tegn, som bruges i matematisk notation, blev først taget i brug i løbet af 1500-tallet, fx lighedstegnet og større end- og mindre end-tegnene.[b][33] Tidligere var matematisk tænkning blevet skrevet ud i tekst, hvilket faktisk begrænsede mulighederne for nye videnskabelige landvindinger.[34] Det var Euler, som indførte megen af den moderne matematiske notation, en notation som letter den matematiske forståelse for den professionelle. Derimod afskrækkes begyndere inden for faget ofte af notationen, fordi matematisk argumentation både er mere abstrakt og mere kryptisk end sædvanlig sprogbrug,[35] hvor det er nemmere at forstå sammenhængen mellem et ord (fx ko) og den fysiske genstand (her et pattedyr af drøvtyggerfamilien), ordet refererer til. I modsætning hertil er matematiske symboler og begreber abstrakte, uden sidestykker i den fysiske verden,[36] og desuden ofte med udvidede betydninger, hvor et enkelt symbol kan repræsentere flere forskellige handlinger eller begreber.[37]

Eksempel på matematisk fejlslutning
I Holbergs komedie Erasmus Montanus forsøger hovedpersonen, hjemvendt til sin barndoms landsby fra studier i København, at imponere sin mor med denne logiske argumentation:[38]

1. En sten kan ikke flyve
2. Morlille kan ikke flyve
3. Altså er Morlille en sten

Erasmus forsøger at anvende den klassiske modus ponens-logik:
1. p medfører q (hvis Morlille er en sten, så kan Morlille ikke flyve)
2. p er sand (Morlille er en sten)
3. Altså er q sand (altså kan Morlille ikke flyve),

men han får byttet om på punkt 2 og 3. For at berolige sin nu opskræmte mor fortsætter Erasmus:
1. En sten kan ikke tale.
2. Morlille kan tale.
3. Altså er Morlille ingen sten.

Dennegang anvender Erasmus modus tollens-logik:
1. p medfører q (hvis Morlille er en sten, så kan Morlille ikke tale)
2. q er falsk (Morlille kan godt tale)
3. Altså er p falsk (altså er Morlille ingen sten),

med bedre resultat.


Også når man ser bort fra notationen med symboler og tegn kan matematikeres sprog være svært at forstå for begyndere. Almindelige ord som eller og kun har en mere præcis betydning end i dagligsprog, mens andre ord som åben, legeme og gruppe refererer til bestemte matematiske forestillinger, som ikke har med ordenes sædvanlige betydning at gøre. Matematikere bruger også fremmedord som homomorfi og integrabel, som ikke giver mening uden for matematikken. Grunden til, matematikere bruger en særlig notation og et særligt sprog er ønsket om at kunne udtrykke sig med større præcision end hvad dagligsprog tillader. Man taler om matematisk strenghed.[kilde mangler]

Matematisk bevisførelse er dybest set et spørgsmål om logisk strenghed. Bevisførelsen resulterer i sætninger, som er udledt fra aksiomer ved hjælp af systematisk logik. Herved undgår man falske sætninger udledt ud fra fejlslutninger, som der har været mange eksempler på, se tekstboks. Graden af nødvendig strenghed har vekslet gennem matematikkens historie: de gamle grækere forlangte detaljeret bevisførelse, men på Isaac Newtons tid var man begyndt at tage lidt lettere på tingene. Dette medførte efterhånden visse uhensigtsmæssigheder, så at man i 1800-tallet igen vendte sig mod detaljeret logisk analyse og formel bevisførelse. I dag diskuterer matematikere, hvorvidt og hvordan man kan bruge computere til at udlede sætninger: da omfattende og indviklede beregninger er svære at efterprøve, kan beviset for sådanne sætninger være fejlbehæftet, hvis computerens software er fejlbehæftet.[c][39] Der er dog udviklet hjælpeprogrammer (eng: proof assistants), som kan foretage en fuldstændig gennemgang og afprøvning af alle trinene i lange, indviklede beviser, som fx Feit-Thomsons sætning, hvis bevis på tryk fylder mere end 1.000 sider.

Matematiske disciplinerRediger

I dag er matematik baseret på logik og bevisførelse. Historisk set er matematikken opstået ud fra behovet for at lave beregninger i handel, for at opmåle landområder og jordlodder og for at forudsige astronomiske begivenheder. Disse tre behov kan groft relateres til en bred underopdeling af matematikken i studiet af hhv tal, rum og ændring, også kaldet algebra, geometri og analyse.[40]

Logik og mængdelæreRediger

Hvor matematikeres arbejde oprindeligt udelukkende bestod i beregninger, opstod efterhånden et behov for at få formaliseret de regler, man regnede efter. Dette var baggrunden for udviklingen af matematisk logik, hvor filosofiens logiske tænkning anvendes inden for matematiske discipliner. Ud fra nogle få grundlæggende logiske sandheder, kaldet aksiomer, søger man vha logisk argumentation at nå frem til nye sandheder af mere indviklet natur om specifikke matematiske problemstillinger. Omkring år 1900 søgte David Hilbert at formalisere matematikken ved at opstille al matematik i et system af aksiomer, som bl.a. skulle afhjælpe nogle logiske problemer i Euklids geometri, men senere viste Kurt Gödel i sin ufuldstændighedssætning, at dette ikke lader sig gøre. De første årtier af 1900-tallet blev præget af en krise inden for matematikken, hvor man (forgæves, skulle det vise sig) søgte at afdække et sådant fuldstændigt forklarende system, i stil med Hilberts.[41][42]

I mængdelæren beskæftiger man sig med samlinger af objekter. Dette felt blev især udviklet af Georg Cantor i slutningen af 1800-tallet, bl.a. som et forsøg på at opnå en bedre forståelse af uendelighedsbegrebet. Mængdelæren er blevet en vigtig matematisk disciplin, som mange i dag opfatter som et helt afgørende redskab inden for praktisk talt alle områder af matematik.[43]

     
Matematisk logik Mængdelære Kategoriteori

Aritmetik og talteoriRediger

Opgave i aritmetik
Udregn denne brøk:
 

Rækkefølge for udregninger:[44]
1. parenteser
2. potenser og rødder
3. multiplikation og division
4. addition og subtraktion

Brøken kan omskrive således:
 
Først udregnes potenser og rødder,
 
dernæst indre parentes, ved subtraktion,
 
dernæst ydre parentes, først multipliceres,
 
dernæst adderes
 
og til slut divideres
 

 
Ulams spiral viser, hvordan primtallenes forekomst blandt de naturlige tal ikke er tilfældig, men følger komplekse mønstre.
 
Tallet 6 er et fuldkomment tal.

Mennesker og samfund har fra de tidligste tider haft brug for at kunne håndtere tal. Først indførtes de naturlige tal 1, 2, 3, 4 osv.[45] Senere blev tallet 0 indført,[46] og negative tal,[47] foruden rationale tal som 1/2 og -2/3, samt de reelle tal[48] som fx   og pi, og senest de komplekse tal,[49] som udvider talbegrebet fra at omfatte punkter langs en en-dimensionel tallinje til at omfatte punkter i en to-dimensionel plan.[47] Med alle disse grupper af tal kan man lave beregninger ved hjælp af de fire regningsarter addition, subtraktion, multiplikation og division (også kaldet hhv at lægge sammen, trække fra, gange og dividere). Ud over regningsarterne kan man foretage procentregning, uddragning af rødder og potensopløftning.

Ved beregninger er det især divisionsoperationen, der kan være tidkrævende, og matematikere begyndte tidligt at undersøge mængden af divisorer for heltal, altså hvilke heltal der går op i andre heltal. Dette førte til studiet af primtal (heltal uden divisorer), som er en klassisk disciplin inden for talteori, men fx også studiet af fuldkomne tal (heltal, hvor summen af divisorerne er lig tallet, se figur).[kilde mangler]

De gamle ægyptere havde udviklet et system til brøkregning baseret på stambrøker (brøker med tælleren 1), og multiplikationer blev udført efter et system af fordoblinger og additioner ved hjælp af tabeller af formen 2/n; man brugte fx brøken 256/81 som tilnærmelse til pi.[50]

De gamle grækere opdagede,[51] at   ikke kan skrives som en brøk, at det altså ikke er et rationalt tal, men et irrationalt, og deres opdagelse af, der findes irrationale tal menes på den tid at have afskedkommet en forskningsmæssig krise inden for matematik.[52]

         
Naturlige tal Heltal Rationale tal Irrationale tal Komplekse tal
   
Aritmetik Talteori

AlgebraRediger

 
Løsninger til andengradsligningen   hvor  . Symbolerne a,b,c repræsenterer ukendte tal med konstant værdi, mens den variable x er ligningens løsning.

Algebra er en vigtig matematisk disciplin, som mange skoleelever i en eller anden form stifter bekendskab med, i Danmark typisk i løbet af gymnasiet, i USA i high school. Undervisningen i algebra bygger videre på elevernes kendskab til aritmetik, men hvor aritmetik drejer sig om at behandle bestemte tal,[53] arbejder man i algebra med tal med ukendt, konstant eller skiftende størrelse.[54] Ved hjælp af disse algebraiske størrelser, samt en særlig algebraisk notation og de aritmetiske regneregler, er det muligt at beskrive forholdet mellem forskellige talstørrelser på formel og præcis måde, og dermed angive almene løsninger for en lang række beregningsopgaver. Inden for såvel naturvidenskab i almindelighed som matematik i særdeleshed findes der mange kvantitative sammenhænge, såsom andengradsligningen (se figur), som er beskrevet ved hjælp af algebraiske ligninger. Undersøgelsen af metoder til at løse ligninger fører til studiet af abstrakt algebra. Det for fysikerne vigtige begreb vektorer, der er generaliseret til vektorrummet og studeret i lineær algebra, tilhører de to grene algebra og rum.

Elementær algebraRediger

Opgave i algebra
Spørgsmål: Hvis B er fire år ældre end A, og de tilsammen er tolv år, hvor gamle er så A og B?

Svaret findes ved at opstille to ligninger med to ubekendte, nemlig A’s alder x og B’s alder y:
Ligning 1  
Ligning 2  

Ligning 2 kan omskrives til:
 
Nu kan højre side af de to ligninger sættes lig hinanden:
 
som kan omskrives til:
 
eller:
 
og ved indsættelse i Ligning 1:
 

Inden for algebra anvendes en særlig notation og sprogbrug til behandling og udregning af talstørrelser, se figuren med udtrykket  . Udtrykket er opbygget af tre led, som hver er adskilt af operatorerne + eller –, og hvert led består af et antal faktorer, som kan være enten koefficienter, variable eller eksponenter. Faktorerne skal ganges med hinanden, men gangetegnene udelades normalt og er underforståede, når der ikke er mellemrum mellem faktorerne. Med leddet   menes underforstået  , mens der med   menes  .[55][56] En koefficient er en konstant (her kendt) talværdi, som skal ganges med den eller de variable, som har ukendte talværdier, og som eventuelt skal opløftes til den (her kendte) potens, som eksponenten angiver.[57]

I analogi med almindeligt sprog kan faktorer, led og udtryk opfattes som hhv bogstaver, ord og sætninger, og videre kan i logisk forstand et led opfattes som en genstand eller et begreb, mens et udtryk kan opfattes som en sandhed eller påstand. I algebra bruges bogstaver til alle slags faktorer. De første bogstaver i alfabetet (fx  ,   og  ) bruges typisk til koefficienter eller konstanter, mens dem sidst i alfabetet (fx  ,   og  ) bruges til variable,[58] ofte skrevet i kursiv.[59]

Beregning fungerer inden for algebra på samme måde som inden for aritmetik,[60] dvs addition, subtraktion, multiplikation, division og potensopløftning.[61]

Led med variable med højest potens skrives til venstre, fx   til venstre for  . Koefficienter lig med 1 udelades normalt (fx skrives   som  ),[62] ligesom eksponenter lig med 1 (fx skrives   som  ).[63] Er eksponenten nul, er resultatet altid 1 (fx er   altid lig med 1),[64] dog undtaget  , som ikke giver mening.

Elementær algebra er en udbygning af aritmetik,[65] som kan håndtere beregninger af mere overordnet karakter, idet bestemte tal erstattes med mere generelle bogstaver, jf disse eksempler med variable:

  1. Variable kan symbolisere tal med ukendt værdi. Hvis fx temperaturen D en dag er 10 grader højere end temperaturen F den foregående dag, kan sammenhængen mellem temperaturerne beskrives som  .[66]
  2. Variable gør det muligt at beskrive et problem generelt,[67] uden at angive størrelsen af de tal som indgår. Man kan fx angive 5 minutter som   sekunder. Et mere generelt algebraisk udtryk for antallet af sekunder er  , hvor m er antal minutter.
  3. Variable gør det muligt at beskrive matematiske sammenhænge mellem størrelser som varierer.[68] Fx er sammenhængen mellem en cirkels omkreds c og diameter d givet ved udtrykket  .
  4. Variable kan bruges til at beskrive matematiske egenskaber. Fx er det en grundlæggende egenskab ved addition, at den er kommutativ, således at addendernes orden er ligegyldig, hvilket vha algebra kan skrives  .[69]

Komplekse talRediger

 
Et komplekst tal kan opfattes som en vektor med komposanterne (a, b) i en plan defineret ved to akser, hvor "Re" er den reelle del, mens "Im" er den imaginære del.

I 1500-tallet forsøgte italienske matematikere at finde rødder til tredje- og fjerdegradsligninger og stødte på det problem, at løsningerne i visse tilfælde indebar kvadratrødder af negative tal, hvilket er meningsløst.[70][71]:59 Man søgte bl.a. efter en metode til at finde rødder i tredjegradsligninger af formen

 

En sådan blev fundet, af både Scipione del Ferro omkring 1515, Niccolò Tartaglia i 1539 [70]:79 og af Gerolamo Cardano i 1545:[72]

 

Så længe udtrykket   er positivt, er der ikke problemer, men er det negativt, kan man ikke tage kvadratroden af det. Italieneren Rafael Bombelli fik dog den mærkelige ide at regne videre, selv når udtrykket under kvadratroden var negativt. Han kiggede på ligningen

 

som vha Cardanos formel kunne omskrives til

 

Bombelli fandt nu en sammenhæng mellem udtrykkene   og  , idet[73]

 

 

 ,

samt tilsvarende

 

og kunne nu indsætte i udtrykket ovenfor

 ,

som er løsning til ligningen. Så på trods af, udregningerne indeholder meningsløse kvadratrødder af negative tal, kommer der et brugbart resultat ud af dem. Dette førte til, man indførte en såkaldt imaginær enhed

 

og ved hjælp af den en helt ny slags tal, de komplekse tal  , der skrives på formen

 

Den franske filosof René Descartes tog afstand fra kvadratrødder af negative tal og indførte betegnelsen "imaginær" for dem i afhandlingen La Géométrie fra 1637.[74][75] Det er dog hans betegnelse "imaginær" der i dag ligger til grund for valget af bogstav til tallet i.

Multiplikationstabel for kvaternioner
× 1 i j k
1 1 i j k
i i −1 k j
j j k −1 i
k k j i −1

Hvor de reelle tal  , og deres delmængder, de naturlige tal  , de hele tal   og de rationale tal   alle kan opfattes som punkter på en tallinje, skal de komplekse tal opfattes som punkter i en todimensionel talplan,[76] se figur. Med komplekse tal kan man udføre samme slags operationer som med reelle tal, dvs med de fire regningsarter. Addition af komplekse tal svarer fx til parallelforskydning i planet, mens multiplikation svarer til en drejning efterfulgt af en strækning omkring nulpunktet.[77] I modsætning til polynomier af reelle tal, som ikke nødvendigvis har rødder, har komplekse polynomier altid rødder, og således har et n-te gradspolynomium altid n rødder.[78]

Det komplekse talbegreb blev i midten af 1800-tallet af den irske matematiker W.R. Hamilton udviklet til kvaternion-begrebet, hvor et tal kan opfattes som et punkt i et fire-dimensionelt rum:

 

hvor a, b, c og d er reelle tal, mens i, j og k er kvaternion-enheder, se tabel.

Abstrakt algebraRediger

Som det er fremgået, er talbegrebet flere gange gennem matematikkens historie blevet udvidet: først brugte man kun hele tal, dernæst udvidede man med brøker til rationale tal, dernæst med irrationale tal til reelle tal, dernæst med kvadratrødder af negative tal til komplekse tal. Siden er også de firedimensionelle kvaternioner kommet til, for ikke at nævne de ottedimensionelle oktonioner. Det har faktisk vist sig principielt umuligt at konstruere et talbegreb som er tilpas omfattende til at beskrive alle tænkelige matematisk problemstillinger, og det er i det lys, den abstrakte algebra har udviklet sig.[79]

I abstrakt algebra beskæftiger man sig overordnet med mængder og regneregler (kompositioner), fx en binær operation •, der ud fra to elementer m og n fra en given mængde konstruerer et nyt element m • n, som gerne må tilhøre samme mængde, men ikke nødvendigvis gør det. En sådan operation vil være underlagt regler analoge til dem, som gælder for sædvanlig addition eller multiplikation, mens naturen af det der kommer ud af operationen ikke nødvendigvis er kendt, især hvis de to elementer m og n ikke er af enkel natur.[79]

Eksempel på matematisk struktur
En gruppe er en mængde, fx de hele tal, som er udstyret med en regneregel   og som for vilkårlige elementer a, b og c opfylder disse tre aksiomer:
1. Regnereglen er associativ, dvs  
2. Der findes et neutralt element e, således at  
3. Der findes et inverst element a', således at  

Hvis vi kombinerer mængden af hele tal og regnereglen addition, får vi en gruppe (Z,+):
1.  
2.   (e er tallet 0)
3.   (a' har modsat fortegn af a)

Får vi også en gruppe (Z,  ), hvis vi kombinerer mængden af hele tal med regnereglen multiplikation?
1.  
2.   (e er tallet 1)
3.   (a' er den reciprokke af a)

Nej, i regel 3 går det galt: den reciprokke værdi af et heltal er kun et heltal for tallet 1, så (Z,  ) er ikke en gruppe.[80]

Hvis man spiller matador med to terninger, står på plads k og fx slår m og n øjne, kan man enten først flytte m pladser og dernæst n pladser, eller omvendt, eller man kan flytte alle øjnene på en gang, igen på to måder, så der ialt er fire måder at nå sin nye plads på. Hvis man med   betegner den operation at flytte sin bil et antal pladser, bliver den nye plads nemlig enten[79]

  eller  , dvs den associative lov er opfyldt, eller
  eller  , dvs den kommutative lov er opfyldt.

Algebra kan ofte knyttes til geometri, og undertiden også til fysiske objekter fra den virkelige verden. Fra geometrien kendes de fem regulære polyedre: tetraeder, hexaeder, oktaeder, dodekaeder og ikosaeder. Inden for krystallografi kan disse polyedre vha forskellige symmetrier underopdeles i 219 krystallografiske grupper, hvilket er et antal man også er nået frem til inden for abstrakt algebra. Dette er bemærkelsesværdigt i lyset af, at algebra ikke på nogen måde forholder sig til eller lader sig begrænse af den fysiske virkelighed. Lignende eksempler kan findes i kemi, atomfysik og kvantemekanik.[79] I abstrakt algebra arbejder man med overordnede strukturer, for eksempel:

  • en gruppe er en mængde med én tilknyttet binær operation, fx  , mængden af hele tal og operationen addition, se tekstbox,
  • en ring er en mængde med to tilknyttede binære operationer, fx  , mængden af rationale tal og operationerne multiplikation og addition,
  • et legeme er en mængde, hvorpå alle fire regnearter kan udføres.[81]

De rationale tal, de reelle tal og de komplekse tal er alle eksempler på legemer.

GeometriRediger

Studiet af rummet starter med studiet af geometri, først den euklidiske geometri og trigonometri i det sædvanlige tredimensionale rum, men senere også generaliseret til ikke-euklidisk geometri som spiller en central rolle i den generelle relativitetsteori. De moderne områder differentialgeometri og algebraisk geometri generaliserer geometri i forskellige retninger: differentialgeometri fremhæver begreberne koordinatsystemer, glathed og retning, mens geometriske objekter i algebraisk geometri beskrives som løsninger til et sæt af ligninger. Gruppeteori undersøger på en abstrakt måde begrebet symmetri og giver en sammenhæng mellem studiet af rum og struktur. Topologi giver en sammenhæng mellem studiet af rum og studiet af ændring ved at fokusere på begrebet kontinuitet.

Analyse og infinitesimalregningRediger

At forstå og beskrive ændringer i målelige størrelser er det centrale emne i naturvidenskab, og infinitesimalregningen er udviklet som et særdeles brugbart værktøj til at gøre præcis det. Det centrale begreb, man bruger til at beskrive en variabel, der ændrer sig, er en funktion. Mange problemer leder helt naturligt til relationen mellem mængde og størrelsen af dens ændring, og metoderne til at løse disse er studeret i emnet differentialligninger. Tallene, man bruger til at repræsentere kontinuerlige mængder, er de reelle tal, og det detaljerede studium af deres egenskaber er kendt som reel analyse. Af forskellige årsager er det bekvemt at generalisere til komplekse tal, som studeres i en kompleks analyse. Funktionalanalyse fokuserer på et (typisk uendeligt-dimensionalt) rum af funktioner, som danner basis for blandt andet kvantemekanik.

Computernes indflydelseRediger

For at tydeliggøre og undersøge matematikkens fundament udviklede man områderne mængdeteori, matematisk logik og modelteori.

Da computere i sin tid blev opfundet, blev flere omkringliggende problemer tacklet af matematikere, og det ledte til områderne beregnelighed og informationsteori. Mange af disse spørgsmål er nu undersøgt under teoretisk datalogi.

Foruden ved numerisk analyse har computere også hjulpet til ved emner som kaosteori, som handler om at mange dynamiske systemer i naturen adlyder love, der gør, at deres adfærd bliver uforudsigelig i praksis, selvom det er deterministisk i teorien. Kaosteori er tæt forbundet med fraktal geometri.

Se ogsåRediger

Nedenstående gruppering af emner repræsenterer én måde[bør uddybes][kilde mangler] at organisere matematikkens grene på.

TalRediger

TalNaturlige talHeltalRationale talReelle talKomplekse talLegemerKvaternionerOktonionerSedenionerHyperreelle talSurreelle talOrdinaltalKardinaltalHeltalsfølgeMatematiske konstanterTalnavneUendelig

ÆndringRediger

       
Aritmetik Infinitesimalregning Vektoranalyse Analyse
     
Differentialligninger Dynamiske systemer Kaosteori
InfinitesimalregningVektoranalyseMatematisk analyseDifferentialligningerDynamiske systemerKaosteoriFunktioner

StrukturRediger

     
Abstrakt algebra Talteori Gruppeteori
     
Topologi Kategoriteori Ordenteori
Abstrakt algebraTalteoriAlgebraisk geometriGruppeteoriMatematisk analyseTopologiLineær algebraGrafteoriUniversel algebraKategoriteori

RumRediger

         
Topologi Geometri Trigonometri Differentialgeometri Fraktalgeometri
TopologiGeometriTrigonometriAlgebraisk geometriDifferentialgeometriDifferentiel topologiAlgebraisk topologiLineær algebra

Diskret matematikRediger

 
 
 
     
Kombinatorik Mængdeteori Beregnelighed Kryptologi Grafteori
KombinatorikMængdeteoriSandsynlighedsregningStatistikBeregnelighedDiskret matematikKryptologiGrafteoriSpilteori

Anvendt matematikRediger

MekanikNumerisk analyseOptimeringSandsynlighedStatistik

DiverseRediger

 
Eksempel på Juliamængden, en fraktal der bruger samme iterationsformel som Mandelbrotmængden.
 
Denne formel, kaldet Eulers identitet, er kåret som matematikkens smukkeste.[82] [83]

LitteraturRediger

Når et skolebarn har lært at lægge naturlige tal sammen, dvs at addere dem, er det i stand til at forstå og ved afprøvning besvare spørgsmålet: ”Hvilket tal skal man lægge til 3 for at få 5?” Systematisk besvarelse af sådanne opgaver kræver dog, man indfører et nyt begreb: det at trække fra, eller subtraktion. Nu kan spørgsmålet stilles på denne måde: ”Hvad er 5 minus 3?” Straks man har defineret denne subtraktion, kan man også stille spørgsmålet: ”Hvad er 3 minus 5?” Nu føres man mod negative tal, og dermed ud over den grundlæggende regning.

– den tyske forfatter Heinz Duthel[84]

UdenlandskRediger

  • Davis, Philip J.; Hersh, Reuben: The Mathematical Experience. Birkhäuser, Boston, Mass., 1980. En skånsom introduktion til matematikkens verden.
  • Rusin, Dave: The Mathematical Atlas, http://www.math-atlas.org. En tur gennem de forskellige grene i moderne matematik.
  • Weisstein, Eric: World of Mathematics, http://www.mathworld.com. En online encyklopædi om matematik.
  • Planet Math, http://planetmath.org. En online encyklopædi om matematik under konstruktion. Bruger GNU Free Documentation License, så det tillader importering til Wikipedia. Bruger TeX markup.
  • Mathematical Society of Japan: Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2nd ed. MIT Press, Cambridge, Mass., 1993. Definitioner, teoremer og referencer.
  • Michiel Hazewinkel (ed.): Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers 2000. En oversat og udvidet version af den sovjetiske matematik encyklopædi, i ti (store) bøger, det mest komplette og autoritative værk der er tilgængeligt. Også som paperback og på CD-ROM.
  • Gullberg, Jan: Mathematics—From the Birth of Numbers. W.W. Norton, 1996. Et encyklopædisk overblik over matematikken i et nutidigt og simpelt sprog
  • Aigner, Martin; Ziegler, Günter (2009). Proofs from THE BOOK (4. udgave). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-00855-9. 

DanskRediger

  • Aksel Bertelsen (2010). Når matematikken slår rødder. Systime. ISBN 978-87-616-2628-8. 
  • Torben Braüner (2006). Logikkens Muligheder og Grænser. Aktuel Naturvidenskab, 6.
  • Jesper Frandsen (1992). Komplekse tal og fraktaler (1. udgave). Systime. ISBN 87-7783-188-8. 
  • Tinne Hoff Kjeldsen (2011). Hvad er matematik (1. udgave). Akademisk Forlag. ISBN 9788750041047. 
  • Mickaël Launay (2018). Den store fortælling om matematikken - fra forhistorisk tid til i dag. FADL's Forlag (oversat fra fransk). ISBN 978-87-93590-03-8. 
  • Henrik Kragh Sørensen (2017). Tal, Tænkepauser nr 47. Aarhus Universitet. ISBN 978-87-7124-502-8. 

LærebøgerRediger

  • Erik Kristensen og Ole Rindung (1976): Matematik 1, G.E.C. Gads Forlag, 6. udgave, 260 sider, ISBN 87-12-47782-6.
  • Morten Brydensholt og Grete Ridder Ebbesen (2010): Lærebog i matematik A1STX, Systime, 312 sider, ISBN 978-87-616-9454-6.
  • Morten Brydensholt og Grete Ridder Ebbesen (2011): Lærebog i matematik A2STX, Systime, 356 sider, ISBN 978-87-616-9232-0.

NoterRediger

  1. ^ Generelt gælder for vilkårlige heltal  ,   og  , at hvis   og  , så  
  2. ^ Kan huskes på, den store stikker til den lille, fx 7 > 5 og 5 < 7.
  3. ^ Her kræves normalt, sætningen skal være bevist ved to af hinanden uafhængige beregninger, med hver sin software.

ReferencerRediger

  1. ^ a b Liddell, H.G. & Scott, R. (1940). A Greek-English Lexicon. revised and augmented throughout by Sir Henry Stuart Jones. with the assistance of. Roderick McKenzie. Oxford: Clarendon Press.
  2. ^ a b "mathematics, n.". Oxford English Dictionary. Oxford University Press. 2012. Arkiveret fra originalen November 16, 2019. Hentet June 16, 2012. The science of space, number, quantity, and arrangement, whose methods involve logical reasoning and usually the use of symbolic notation, and which includes geometry, arithmetic, algebra, and analysis. 
  3. ^ Kneebone, G.T. (1963). Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey. Dover. s. 4. ISBN 978-0-486-41712-7. Mathematics ... is simply the study of abstract structures, or formal patterns of connectedness. 
  4. ^ LaTorre, Donald R.; Kenelly, John W.; Biggers, Sherry S.; Carpenter, Laurel R.; Reed, Iris B.; Harris, Cynthia R. (2011). Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change. Cengage Learning. s. 2. ISBN 978-1-4390-4957-0. Calculus is the study of change—how things change, and how quickly they change. 
  5. ^ Ramana (2007). Applied Mathematics. Tata McGraw–Hill Education. s. 2.10. ISBN 978-0-07-066753-2. The mathematical study of change, motion, growth or decay is calculus. 
  6. ^ Ziegler, Günter M. (2011). "What Is Mathematics?". An Invitation to Mathematics: From Competitions to Research. Springer. s. vii. ISBN 978-3-642-19532-7. 
  7. ^ a b c d Mura, Roberta (Dec 1993). "Images of Mathematics Held by University Teachers of Mathematical Sciences". Educational Studies in Mathematics. 25 (4): 375-85. JSTOR 3482762. doi:10.1007/BF01273907. 
  8. ^ a b c Tobies, Renate & Helmut Neunzert (2012). Iris Runge: A Life at the Crossroads of Mathematics, Science, and Industry. Springer. s. 9. ISBN 978-3-0348-0229-1. [I]t is first necessary to ask what is meant by mathematics in general. Illustrious scholars have debated this matter until they were blue in the face, and yet no consensus has been reached about whether mathematics is a natural science, a branch of the humanities, or an art form. 
  9. ^ Steen, L.A. (April 29, 1988). The Science of Patterns Science, 240: 611–16. And summarized at Association for Supervision and Curriculum Development Arkiveret October 28, 2010, hos Wayback Machine., www.ascd.org.
  10. ^ Devlin, Keith, Mathematics: The Science of Patterns: The Search for Order in Life, Mind and the Universe (Scientific American Paperback Library) 1996, ISBN 978-0-7167-5047-5
  11. ^ Wise, David. "Eudoxus' Influence on Euclid's Elements with a close look at The Method of Exhaustion". jwilson.coe.uga.edu. Arkiveret fra originalen June 1, 2019. Hentet 2019-10-26. 
  12. ^ Eves, p. 306
  13. ^ Peterson, p. 12
  14. ^ a b Wigner, Eugene (1960). "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences". Communications on Pure and Applied Mathematics. 13 (1): 1-14. Bibcode:1960CPAM...13....1W. doi:10.1002/cpa.3160130102. Arkiveret fra originalen February 28, 2011. 
  15. ^ Kjeldsen (2011), s. 10
  16. ^ Lothar Schmidt !980): Aphorismen von A–Z. Das große Handbuch geflügelter Definitionen. Drei Lilien Verlag, Wiesbaden, s. 288–289
  17. ^ Franklin, James (2009-07-08). Philosophy of Mathematics. s. 104. ISBN 978-0-08-093058-9. Arkiveret fra originalen September 6, 2015. Hentet June 20, 2015. 
  18. ^ Cajori, Florian (1893). A History of Mathematics. American Mathematical Society (1991 reprint). s. 285–86. ISBN 978-0-8218-2102-2. 
  19. ^ Snapper, Ernst (September 1979). "The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism, and Formalism". Mathematics Magazine. 52 (4): 207-16. Bibcode:1975MathM..48...12G. JSTOR 2689412. doi:10.2307/2689412. 
  20. ^ Brezina, Corona (2006), Al-Khwarizmi: The Inventor of Algebra, The Rosen Publishing Group, s. 39-40, ISBN 978-1-4042-0513-0. 
  21. ^ Kjeldsen (2011), s. 34
  22. ^ Kjeldsen (2011), s. 39
  23. ^ Kjeldsen (2011), s. 43, 92
  24. ^ Kjeldsen (2011), s. 11, 58
  25. ^ Kjeldsen (2011), s. 68
  26. ^ Meinhard E. Mayer (2001). "The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus". Physics Today. 54 (8): 48. Bibcode:2001PhT....54h..48J. doi:10.1063/1.1404851. 
  27. ^ "Mathematics Subject Classification 2010" (PDF). Arkiveret (PDF) fra originalen May 14, 2011. Hentet November 9, 2010. 
  28. ^ James Williamson (translator and commentator), The Elements of Euclid, With Dissertations, Clarendon Press, Oxford, 1782, page 63.
  29. ^ Ore, Oystein (1988) [1948], Number Theory and its History, Dover, s. 65. 
  30. ^ Hardy, G. H. (1940). A Mathematician's Apology. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-42706-7. 
  31. ^ Aigner & Ziegler (2009).
  32. ^ Gold, Bonnie; Simons, Rogers A. (2008). Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy. MAA. 
  33. ^ "Earliest Uses of Various Mathematical Symbols". Arkiveret fra originalen February 20, 2016. Hentet September 14, 2014. 
  34. ^ Kline (1980), p. 140, om Diofant; p. 261, om François Viète.
  35. ^ Oakley 2014, p. 16: "Focused problem solving in math and science is often more effortful than focused-mode thinking involving language and people. This may be because humans haven't evolved over the millennia to manipulate mathematical ideas, which are frequently more abstractly encrypted than those of conventional language."
  36. ^ Oakley 2014, p. 16: "What do I mean by abstractness? You can point to a real live cow chewing its cud in a pasture and equate it with the letters c–o–w on the page. But you can't point to a real live plus sign that the symbol '+' is modeled after – the idea underlying the plus sign is more abstract."
  37. ^ Oakley 2014, p. 16: "By encryptedness, I mean that one symbol can stand for a number of different operations or ideas, just as the multiplication sign symbolizes repeated addition."
  38. ^ Kjeldsen (2011), s. 37-38
  39. ^ Ivars Peterson, The Mathematical Tourist, Freeman, 1988, ISBN 0-7167-1953-3. p. 4 "A few complain that the computer program can't be verified properly", (in reference to the Haken–Apple proof of the Four Color Theorem).
  40. ^ https://denstoredanske.lex.dk/matematik
  41. ^ Luke Howard Hodgkin & Luke Hodgkin, A History of Mathematics, Oxford University Press, 2005.
  42. ^ "The method of 'postulating' what we want has many advantages; they are the same as the advantages of theft over honest toil." Bertrand Russell (1919), Introduction to Mathematical Philosophy, New York and London, p. 71. Arkiveret June 20, 2015, hos Wayback Machine.
  43. ^ Patrick Suppes, Axiomatic Set Theory, Dover, 1972, ISBN 0-486-61630-4. p. 1, "Among the many branches of modern mathematics set theory occupies a unique place: with a few rare exceptions the entities which are studied and analyzed in mathematics may be regarded as certain particular sets or classes of objects."
  44. ^ Brydensholt & Ridder Ebbesen (2010), s. 16.
  45. ^ "number, n.". OED Online (engelsk). Oxford University Press. Arkiveret fra originalen 2018-10-04. Hentet 2017-05-16. 
  46. ^ Matson, John. "The Origin of Zero". Scientific American (engelsk). Arkiveret fra originalen 2017-08-26. Hentet 2017-05-16. 
  47. ^ a b Hodgkin, Luke (2005-06-02). A History of Mathematics: From Mesopotamia to Modernity (engelsk). OUP Oxford. s. 85-88. ISBN 978-0-19-152383-0. Arkiveret fra originalen 2019-02-04. Hentet 2017-05-16. 
  48. ^ T.K. Puttaswamy, "The Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians", pp. 410–11. In: Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan, (red.) (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, ISBN 1-4020-0260-2. .
  49. ^ Descartes, René (1954) [1637], La Géométrie | The Geometry of René Descartes with a facsimile of the first edition, Dover Publications, ISBN 0-486-60068-8, hentet 20 April 2011. 
  50. ^ Erik Lund, Mogens Pihl og Johannes Sløk (1962): De europæiske ideers historie. Gyldendal, 375 sider, s. 52
  51. ^ Plato, Theaetetus, p. 147 B, (for example, Jowett 1871), cited in von Fritz 2004, s. 212: "Theodorus was writing out for us something about roots, such as the roots of three or five, showing that they are incommensurable by the unit;..." See also Spiral of Theodorus.
  52. ^ von Fritz 2004.
  53. ^ H.E. Slaught and N.J. Lennes, Elementary algebra, Publ. Allyn and Bacon, 1915, page 1 (republished by Forgotten Books)
  54. ^ Lewis Hirsch, Arthur Goodman, Understanding Elementary Algebra With Geometry: A Course for College Students, Publisher: Cengage Learning, 2005, ISBN 0534999727, 9780534999728, 654 pages, page 2
  55. ^ Sin Kwai Meng, Chip Wai Lung, Ng Song Beng, "Algebraic notation", in Mathematics Matters Secondary 1 Express Textbook, Publisher Panpac Education Pte Ltd, ISBN 9812738827, 9789812738820, page 68
  56. ^ https://mateuxteknisk.systime.dk/index.php?id=1158&L=952#c10982
  57. ^ Richard N. Aufmann, Joanne Lockwood, Introductory Algebra: An Applied Approach, Publisher Cengage Learning, 2010, ISBN 1439046042, 9781439046043, page 78
  58. ^ William L. Hosch (editor), The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry, Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, ISBN 1615302190, 9781615302192, page 71
  59. ^ James E. Gentle, Numerical Linear Algebra for Applications in Statistics, Publisher: Springer, 1998, ISBN 0387985425, 9780387985428, 221 pages, [James E. Gentle page 183]
  60. ^ Horatio Nelson Robinson, New elementary algebra: containing the rudiments of science for schools and academies, Ivison, Phinney, Blakeman, & Co., 1866, page 7
  61. ^ Ron Larson, Robert Hostetler, Bruce H. Edwards, Algebra And Trigonometry: A Graphing Approach, Publisher: Cengage Learning, 2007, ISBN 061885195X, 9780618851959, 1114 pages, page 6
  62. ^ David Alan Herzog, Teach Yourself Visually Algebra, Publisher John Wiley & Sons, 2008, ISBN 0470185597, 9780470185599, 304 pages, page 72
  63. ^ John C. Peterson, Technical Mathematics With Calculus, Publisher Cengage Learning, 2003, ISBN 0766861899, 9780766861893, 1613 pages, page 31
  64. ^ Jerome E. Kaufmann, Karen L. Schwitters, Algebra for College Students, Publisher Cengage Learning, 2010, ISBN 0538733543, 9780538733540, 803 pages, page 222
  65. ^ Thomas Sonnabend, Mathematics for Teachers: An Interactive Approach for Grades K-8, Publisher: Cengage Learning, 2009, ISBN 0495561665, 9780495561668, 759 pages, page xvii
  66. ^ Lewis Hirsch, Arthur Goodman, Understanding Elementary Algebra With Geometry: A Course for College Students, Publisher: Cengage Learning, 2005, ISBN 0534999727, 9780534999728, 654 pages, page 48
  67. ^ Lawrence S. Leff, College Algebra: Barron's Ez-101 Study Keys, Publisher: Barron's Educational Series, 2005, ISBN 0764129147, 9780764129148, 230 pages, page 2
  68. ^ Ron Larson, Kimberly Nolting, Elementary Algebra, Publisher: Cengage Learning, 2009, ISBN 0547102275, 9780547102276, 622 pages, page 210
  69. ^ Charles P. McKeague, Elementary Algebra, Publisher: Cengage Learning, 2011, ISBN 0840064217, 9780840064219, 571 pages, page 49
  70. ^ a b Helmuth Gericke (1994). Talbegrebets historie. Oversat af Kirsti Andersen og Kate Larsen. Matematiklærerforeningen, Aarhus Universitet. ISBN 87-89229-66-5.
  71. ^ Jens Carstensen. Komplekse tal. Systime, 3. udgave 1995. ISBN 87 7783 412 7.
  72. ^ Frandsen (1992), s. 9.
  73. ^ Frandsen (1992), s. 10.
  74. ^ Christian Berg (2004). "Kompleks funktionsteori", Noter. Københavns Universitet, Matematisk Afdeling.
  75. ^ René Descartes (1954) [1637]. La Géométrie | The Geometry of René Descartes with a facsimile of the first edition. Dover Publications. ISBN 978-0-486-60068-0. Hentet 20. april 2011. 
  76. ^ Frandsen (1992), s. 19.
  77. ^ Frandsen (1992), s. 16-25.
  78. ^ Frandsen (1992), s. 41.
  79. ^ a b c d Birger Iversen: algebra, i Den Store Danske på lex.dk. Hentet 23. august 2020
  80. ^ Kjeldsen (2011), s. 116-118
  81. ^ Tapson, Frank (1996). The Oxford Mathematics Study Dictionary. Oxford University Press. ISBN 0-19-914551-2. 
  82. ^ David Wells (1988). "Which is the most beautiful?". Mathematical Intelligencer. 10 (4): 30-31. doi:10.1007/BF03023741.
  83. ^ David Wells (1990). "Are these the most beautiful?". Mathematical Intelligencer. 12(3): 37-41. doi:10.1007/BF03024015.
  84. ^ Heinz Duthel (2018): Discover Entdecke Découvrir Astronomie - Apokalypse Der Weg in die Geheimnisse des Anfangs und des Ende: Einleitung in astronomische Beobachtungen. Grundlagenwissen über Teleskope und dessen Bedienung. 648 sider, ISBN 9783742734655

Eksterne henvisningerRediger

Wikimedia Commons har medier relateret til:

OpgaverRediger

OrdbøgerRediger

GenerelRediger

HistorieRediger